高中数学试题

已知函数f(x)＝ln(x＋1)－x²－x.
(1)若关于x的方程f(x)＝－x＋b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
(2)证明：对任意的正整数n，不等式2＋＋＋…＋ >ln(n＋1)都成立．

设椭圆M：＝1(a>)的右焦点为F₁，直线l：x＝与x轴交于点A，若＝2 (其中O为坐标原点)．
(1)求椭圆M的方程；
(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x²＋(y－2)²＝1的任意一条直径(E，F为直径的两个端点)，求·的最大值．

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x²＋y²－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线l与圆Q相交于不同的两点A，B.
(1)求圆Q的面积；
(2)求k的取值范围；
(3)是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．

已知数列{a_n}满足a₁＝a(a＞0，a∈N^*)，a₁＋a₂＋…＋a_n－pa_n＋1＝0(p≠0，p≠－1，n∈N^*)．
(1)求数列{a_n}的通项公式a_n；
(2)若对每一个正整数k，若将a_k＋1，a_k＋2，a_k＋3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为d_k.①求p的值及对应的数列{d_k}．
②记S_k为数列{d_k}的前k项和，问是否存在a，使得S_k＜30对任意正整数k恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由．

设函数,其中.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为 ，求的值.

数列记
（1）求b₁、b₂、b₃、b₄的值；
（2）求数列的通项公式及数列的前n项和

如图，已知椭圆的离心率是，分别是椭圆的左、右两个顶点，点是椭圆的右焦点。点是轴上位于右侧的一点，且满足．

（1）求椭圆的方程以及点的坐标；
（2）过点作轴的垂线，再作直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线交直线于点．求证：以线段为直径的圆恒过定点，并求出定点的坐标．

如图，在中，，，点在边上，设，过点作交于，作交于。沿将翻折成使平面平面；沿将翻折成使平面平面．

（1）求证：平面；
（2）是否存在正实数，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

设函数f(x)，g(x)的定义域分别为M，N，且M是N真子集，若对任意的x∈M，都有g(x)＝f(x)，则称g(x)是f(x)的“拓展函数”．已知函数f(x)＝log₂x，若g(x)是f(x)的“拓展函数”，且g(x)是偶函数，则符合条件的一个g(x)的解析式是________．

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点，AA₁＝AC＝CB＝AB.
 
(1)证明：BC₁∥平面A₁CD；
(2)求二面角D－A₁C－E的正弦值．

已知曲线C₁的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C₁的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C₁与C₂交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．

如图，点P(0，－1)是椭圆C₁：＝1(a>b>0)的一个顶点，C₁的长轴是圆C₂：x²＋y²＝4的直径．l₁，l₂是过点P且互相垂直的两条直线，其中l₁交圆C₂于A，B两点，l₂交椭圆C₁于另一点D.

(1)求椭圆C₁的方程；
(2)求△ABD面积取最大值时直线l₁的方程．

若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C₁：＝1，A₁，A₂分别为椭圆C₁的左、右顶点．椭圆C₂以线段A₁A₂为短轴且与椭圆C₁为“相似椭圆”．
 
(1)求椭圆C₂的方程；
(2)设P为椭圆C₂上异于A₁，A₂的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C₁于点H.求证：H为△PA₁A₂的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)

已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为2，P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－.设直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于两点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．
(1)若＝ (O为坐标原点)，求|y₁－y₂|的值；
(2)当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在点Q，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．

如图，椭圆＝1(a＞b＞0)的上，下两个顶点为A，B，直线l：y＝－2，点P是椭圆上异于点A，B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，设AP所在的直线的斜率为k₁，BP所在的直线的斜率为k₂.若椭圆的离心率为，且过点A(0,1)．

(1)求k₁·k₂的值；
(2)求MN的最小值；
(3)随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由．