2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅱ）

若将函数 $y=\tan \left(\omega x+\frac{\pi }{4}\right)\left(\mathrm{\omega }>0\right)$ 的图像向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度后，与函数 $y=\tan \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right)$ 的图像重合，则 $\omega$ 的最小值为(   )

设集合 $A=\left\{\overline{)x}x>3\right\},B=\left\{\overline{)x}\frac{x-1}{x-4}<0\right\}$ 则 $A\cap B$ （ ）

已知 $△ABC$中， $cotA=-\frac{12}{5}$,则 $\cos A=$(   )

曲线 $y=\frac{x}{2x-1}$ 在点 $\left(1,1\right)$ 处的切线方程为（ ）

已知正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $A{A}_1=2AB$ ， $E$ 为 $A{A}_1$ 中点，则异面直线 $BE$ 与 $C{D}_1$ 所成角的余弦值为(     )

已知向量 $\mathit{a}=(2,1)$ ， $\mathit{a}·\mathit{b}=10$ , $\left|a+b\right|=5\sqrt{2}$ ,则 $\left|b\right|=$ （ ）

设 $a={\log }_2\pi ,\mathrm{b}={\log }_2\sqrt{3},\mathrm{c}={\log }_2\sqrt{2}$ 则（ ）

已知直线 $y=k(x+2)(k>0)$ 与抛物线 $C:y^2=8x$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点， $F$ 为 $C$ 的焦点，若 $\left|FA\right|=2\left|FB\right|$ ,则 $k=$ （ ）

甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有(     )

已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>0,b>0\right)$ 的右焦点为 $F$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交 $C$ 于 $A,B$ 两点，若 $\overline{AF}=4\overline{FB}$ ，则 $C$ 的离心率为（ ）

A. $\frac{6}{5}$              B. $\frac{7}{5}$               C. $\frac{8}{5}$                D. $\frac{9}{5}$

$(\sqrt[x]{y}-\sqrt[y]{x}{)}^4$的展开式中 $x^3{y}^3$的系数为     .

设等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{2n}$ .若 $a_5=5a_3,则S_{4=}$ .

设 $OA$是球 $O$的半径, $M$是 $OA$的中点,过 $M$且与 $OA$成 ${45}^{°}$角的平面截球 $O$的表面得到圆 $C$.若圆 $C$的面积等于 $\frac{7\pi }{4}$,则球 $O$的表面积等于     .

已知 $AC$ 、 $BD$ 为圆 $O:x^2+y^2=4$ 的两条相互垂直的弦，垂足为 $M(1,\sqrt{2})$ ，则四边形 $ABCD$ 的面积的最大值为 .

$\frac{10i}{2-i}=$ （ ）

纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上 $、$下 $、$东 $、$南 $、$西 $、$北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开 $、$外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标" $∆$"的面的方位是（）

设 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边长分别为 $a,b,c$ ， $\cos (A-C)+\cos B=\frac{3}{2}$ , $b^2=ac$ ，求 $B$ .

已知椭圆C $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，过右焦点 $F$的直线 $l$与 $C$相交于 $A,B$两点，当 $l$的斜率为1是，坐标原点 $O$到直线 $l$的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
（Ⅰ）求 $a,b$的值；
（Ⅱ） $C$上是否存在点 $P$，使得当 $l$绕 $F$转到某一位置时，有 $\stackrel{\to }{OP}=\stackrel{\to }{OA}+\stackrel{\to }{OB}$成立？
若存在，求出所有的P的坐标与 $l$的方程；若不存在，说明理由.

设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$  已知 $a_1=1$ , $S_{n+1}=4a_n+2$

（I）设 $b_n=a_{n+1}-2a_n$ ，证明数列 $\left\{b_n\right\}$ 是等比数列.           
（II）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式.

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.
（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；           
（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（III）记 $\xi$ 表示抽取的3名工人中男工人数，求 $\xi$ $=\frac{{C_6}^1{C_4}^1}{{C_{10}}^2}=\frac{8}{15}$ 的分布列及数学期望.

设函数 $f\left(x\right)=x^2+a\ln \left(1+x\right)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$ ，且 $x_1<x_2$

（I）求 $a$ 的取值范围，并讨论 $f\left(x\right)$ 的单调性；
（II）证明： $f\left(x_2\right)>\frac{1-2\ln 2}{4}$ .  

如图，直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$中， $AB\perp AC$， $D$、 $E$分别为 $A{A}_1$、 $B_{1}C$的中点， $DE\perp \mathrm{平面}BC{C}_1$.
（Ⅰ）证明： $AB=AC$；
（Ⅱ）设二面角 $A-BD-C$为60°，求 $B_{1}C$与平面 $BCD$所成的角的大小.