已知椭圆C $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，过右焦点 $F$的直线 $l$与 $C$相交于 $A,B$两点，当 $l$的斜率为1是，坐标原点 $O$到直线 $l$的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
（Ⅰ）求 $a,b$的值；
（Ⅱ） $C$上是否存在点 $P$，使得当 $l$绕 $F$转到某一位置时，有 $\stackrel{\to }{OP}=\stackrel{\to }{OA}+\stackrel{\to }{OB}$成立？
若存在，求出所有的P的坐标与 $l$的方程；若不存在，说明理由.