2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学

若集合$A=\left\{i,i^2,i^3,i^4\right\}$ （$i$ 是虚数单位），$B=\left\{1,-1\right\}$ ，则$A\cap B$ 等于（）

下列函数为奇函数的是（    ）

若双曲线$E:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1$ 的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，点$P$在双曲线$E$上，且$\left|P{F}_1\right|=3$，则$\left|P{F}_2\right|$ 等于（）

为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

根据上表可得回归直线方程 $\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$ ，其中 $\hat{b}=0.76,\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}$，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（    ）

若变量 $x,y$满足约束条件 $\{\begin{array}{c}x+2y\ge 0\\ x-y\le 0\\ x-2y+2\ge 0\end{array}$ 则 $z=2x-y$的最小值等于 （     ）

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）

A．

2

B．

1

C．

0

D．

若$l,m$是两条不同的直线，$m$垂直于平面$\alpha$，则"$l\perp m$ "是"$l//\alpha$ "的（）

若$a,b$是函数$f\left(x\right)=x^2-px+q\left(p>0,q>0\right)$的两个不同的零点，且$a,b,-2$这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则$p+q$的值等于（）

已知 $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}\perp \stackrel{\rightharpoonup }{AC},\left|\stackrel{\rightharpoonup }{AB}\right|=\frac{1}{t},\left|\stackrel{\rightharpoonup }{AC}\right|=t$，若 $P$点是 $△ABC$所在平面内一点，且 $\stackrel{\rightharpoonup }{AP}=\frac{\stackrel{\rightharpoonup }{AB}}{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{AB}\right|}+\frac{4\stackrel{\rightharpoonup }{AC}}{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{AC}\right|}$ ，则 $\stackrel{\rightharpoonup }{PB}·\stackrel{\rightharpoonup }{PC}$的最大值等于（    ）

若定义在$R$上的函数$f\left(x\right)$满足$f\left(0\right)=-1$,其导函数满足$f^{`}\left(x\right)>k>1$，则下列结论中一定错误的是

$(x+2{)}^5$ 的展开式中， $x^2$的系数等于．（用数字作答）

若锐角$∆ABC$的面积为$10\sqrt{3}$，且$AB=5,AC=8$，则$BC$等于

如图，点$A$的坐标为$(1,0)$ ，点$C$的坐标为$(2,4)$ ，函数$f\left(x\right)=x^2$ ，若在矩形$ABCD$内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．

若函数$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}-x+6,x\le 2& \\ 3+{\log }_{a}x,x>2& \end{array}\right.(a>0\mathrm{且a}\ne 1)$ 的值域是$[4,+\infty )$ ，则实数$a$ 的取值范围是

一个二元码是由0和1组成的数字串$x_1{x}_2...x_n$$(n\in N^{*})$ ，其中$x_k(k=1,2,...,n)$ 称为第$k$位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）
已知某种二元码 的码元满足如下校验方程组：$\{\begin{array}{c}{x}_4\oplus x_5\oplus x_6\oplus x_7=0,\\ x_2\oplus x_3\oplus x_6\oplus x_7=0\\ x_1\oplus x_3\oplus x_5\oplus x_7=0\end{array}$

其中运算$\oplus$ 定义为：$0\oplus 0=0,0\oplus 1=1,1\oplus 0=1,1\oplus 1=0$．
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第$k$位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定$k$等于．

某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.
（Ⅰ）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（Ⅱ）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为$X$，求$X$的分布列和数学期望．

如图，在几何体 $ABCDE$中，四边形 $ABCD$是矩形， $AB\perp$平面 $BEC$， $BE\perp EC$， $AB=BE=EC=2$， $G,F$分别是线段 $BE,DC$的中点.

（Ⅰ）求证： $GF//$平面 $ADE$ ；    
（Ⅱ）求平面 $AEF$与平面 $BEC$所成锐二面角的余弦值．

已知椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>o)$过点 $(0,\sqrt{2})$，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$．

（Ⅰ）求椭圆 $E$的方程；
（Ⅱ）设直线 $x=my-1,(m?R)$交椭圆 $E$于 $A,B$两点，判断点 $G(-\frac{9}{4},0)$与以线段 $AB$为直径的圆的位置关系，并说明理由．

已知函数$f\left(x\right)$的图像是由函数$g\left(x\right)=\cos x$的图像经如下变换得到:先将$g\left(x\right)$图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图像向右平移$\frac{p}{2}$个单位长度.
（Ⅰ）求函数$f\left(x\right)$的解析式,并求其图像的对称轴方程；
（Ⅱ）已知关于$x$的方程$f\left(x\right)+g\left(x\right)=m$在$[0,2p)$内有两个不同的解$a,b$．
（1）求实数$m$的取值范围；
（2）证明：$\cos \left(a-b\right)\frac{2m^2}{5}-1$

已知函数$f\left(x\right)=\ln \left(1+x\right)$，$g\left(x\right)=kx,\left(k\in R\right)$

（Ⅰ）证明：当$x>0时，f\left(x\right)<x$；
（Ⅱ）证明：当$k<1$时，存在$x_0>0$,使得对$\mathrm{任意}x\in \left(0,t\right),\mathrm{恒有}f\left(x\right)>g\left(x\right)$
（Ⅲ）确定$k$的所以可能取值，使得存在$t>0$，对任意的$x\in \left(0,t\right)$恒有$\left|\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\right|<x^2$．

已知矩阵$A=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\begin{array}{c}1\\ \\ 3\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\begin{array}{c}1\\ \\ -1\end{array}\right)$（Ⅰ）求$A$的逆矩阵$A^{-1}$；
（Ⅱ）求矩阵$C$，使得$AC=B$.

选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系$xoy$中，圆$C$的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+3\cos t\\ y=-2+3\sin t\end{array}\right.\left(t\mathrm{为参数}\right)$.在极坐标系（与平面直角坐标系$xoy$取相同的长度单位，且以原点$O$为极点，以$x$轴非负半轴为极轴）中，直线$l$的方程为$\sqrt{2}r\sin (q-\frac{p}{4})=m(m\in R)$.

（Ⅰ）求圆$C$的普通方程及直线$l$的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆心$C$到直线$l$的距离等于2，求$m$的值．

已知$a>0,b>0,c>0$，函数$f\left(x\right)=\left|x+a\right|+\left|x-b\right|+c$的最小值为$4$．
（Ⅰ）求$a+b+c$的值；
（Ⅱ）求$\frac{1}{4}{a}^2+\frac{1}{9}{b}^2+c^2$的最小值．