已知函数$f\left(x\right)$的图像是由函数$g\left(x\right)=\cos x$的图像经如下变换得到:先将$g\left(x\right)$图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图像向右平移$\frac{p}{2}$个单位长度.
（Ⅰ）求函数$f\left(x\right)$的解析式,并求其图像的对称轴方程；
（Ⅱ）已知关于$x$的方程$f\left(x\right)+g\left(x\right)=m$在$[0,2p)$内有两个不同的解$a,b$．
（1）求实数$m$的取值范围；
（2）证明：$\cos \left(a-b\right)\frac{2m^2}{5}-1$