初中数学等边三角形的判定试题

如图1，在等腰三角形 $\mathit{ABC}$ 中， $\angle A=120°$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$ ，连接 $\mathit{BE}$ ，点 $M$ 、 $N$ 、 $P$ 分别为 $\mathit{DE}$ 、 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{BC}$ 的中点．

（1）观察猜想．

图1中，线段 $\mathit{NM}$ 、 $\mathit{NP}$ 的数量关系是 　 　， $\angle \mathit{MNP}$ 的大小为 　　．

（2）探究证明

把 $\mathit{\Delta ADE}$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接 $\mathit{MP}$ 、 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{CE}$ ，判断 $\mathit{\Delta MNP}$ 的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把 $\mathit{\Delta ADE}$ 绕点 $A$ 在平面内自由旋转，若 $\mathit{AD}=1$ ， $\mathit{AB}=3$ ，请求出 $\mathit{\Delta MNP}$ 面积的最大值．

如图，对折矩形纸片 $\mathit{ABCD}$，使 $\mathit{AB}$与 $\mathit{DC}$重合，得到折痕 $\mathit{MN}$，将纸片展平；再一次折叠，使点 $D$落到 $\mathit{MN}$上的点 $F$处，折痕 $\mathit{AP}$交 $\mathit{MN}$于 $E$；延长 $\mathit{PF}$交 $\mathit{AB}$于 $G$．求证：

（1） $\mathit{\Delta AFG}\cong \mathit{\Delta AFP}$；

（2） $\mathit{\Delta APG}$为等边三角形．

如图，已知凸五边形 $\mathit{ABCDE}$的边长均相等，且 $\angle \mathit{DBE}=\angle \mathit{ABE}+\angle \mathit{CBD}$， $\mathit{AC}=1$，则 $\mathit{BD}$必定满足 $($　　 $)$

A． $\mathit{BD}<2$B． $\mathit{BD}=2$

C． $\mathit{BD}>2$D．以上情况均有可能

如图，已知 $\odot O$为四边形 $\mathit{ABCD}$的外接圆， $O$为圆心，若 $\angle \mathit{BCD}=120°$， $\mathit{AB}=\mathit{AD}=2$，则 $\odot O$的半径长为 $($　　 $)$

A． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$B． $\frac{\sqrt{6}}{2}$C． $\frac{3}{2}$D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

如图，点 A， B， C， D是直径为 AB的⊙ O上的四个点， C是劣弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{BD}}$ 的中点， AC与 BD交于点 E．

（1）求证： DC ²＝ CE• AC；

（2）若 AE＝2， EC＝1，求证：△ AOD是正三角形；

（3）在（2）的条件下，过点 C作⊙ O的切线，交 AB的延长线于点 H，求△ ACH的面积．

已知四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°．

（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；

（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE＝CF；

（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．

如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路 $(B$， $C$为小路端点）和一棵小树 $(A$为小树位置）．测得的相关数据为： $\angle \mathit{ABC}=60°$， $\angle \mathit{ACB}=60°$， $\mathit{BC}=48$米，则 $\mathit{AC}=$　　米．

如图，将 $\mathit{\Delta ABC}$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60°$ 得到 $\mathit{\Delta DBE}$ ，点 $C$ 的对应点 $E$ 恰好落在 $\mathit{AB}$ 的延长线上，连接 $\mathit{AD}$ ．

（1）求证： $\mathit{BC}//\mathit{AD}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{BC}=1$ ，求 $A$ ， $C$ 两点旋转所经过的路径长之和．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中，已知 $\mathit{AB}=4$ ， $\angle \mathit{ABC}=60°$ ， $\angle \mathit{EAF}=60°$ ，点 $E$ 在 $\mathit{CB}$ 的延长线上，点 $F$ 在 $\mathit{DC}$ 的延长线上，有下列结论：

① $\mathit{BE}=\mathit{CF}$ ；② $\angle \mathit{EAB}=\angle \mathit{CEF}$ ；③ $\mathit{\Delta ABE}\backsim \mathit{\Delta EFC}$ ；④若 $\angle \mathit{BAE}=15°$ ，则点 $F$ 到 $\mathit{BC}$ 的距离为 $2\sqrt{3}-2$ ．

则其中正确结论的个数是 $($ 　　 $)$

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

如图，将正 $n$ 边形绕点 $A$ 顺时针旋转 $60°$ 后，发现旋转前后两图形有另一交点 $O$ ，连接 $\mathit{AO}$ ，我们称 $\mathit{AO}$ 为"叠弦"；再将"叠弦" $\mathit{AO}$ 所在的直线绕点 $A$ 逆时针旋转 $60°$ 后，交旋转前的图形于点 $P$ ，连接 $\mathit{PO}$ ，我们称 $\angle \mathit{OAB}$ 为"叠弦角"， $\mathit{\Delta AOP}$ 为"叠弦三角形"．

[探究证明]

（1）请在图1和图2中选择其中一个证明："叠弦三角形" $\left(\mathit{\Delta AOP}\right)$ 是等边三角形；

（2）如图2，求证： $\angle \mathit{OAB}=\angle \mathit{OAE}\text{'}$ ．

[归纳猜想]

（3）图1、图2中的"叠弦角"的度数分别为 　 ， 　　；

（4）图 $n$ 中，"叠弦三角形" 　　等边三角形（填"是"或"不是" $)$

（5）图 $n$ 中，"叠弦角"的度数为 　　（用含 $n$ 的式子表示）

如图， $\angle \mathit{AOB}=120°$ ， $\mathit{OP}$ 平分 $\angle \mathit{AOB}$ ，且 $\mathit{OP}=2$ ．若点 $M$ ， $N$ 分别在 $\mathit{OA}$ ， $\mathit{OB}$ 上，且 $\mathit{\Delta PMN}$ 为等边三角形，则满足上述条件的 $\mathit{\Delta PMN}$ 有 $($ 　　 $)$

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

3个以上