高中数学导数及其应用试题

计算 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n^2-3n+1}{n^2-4n+1}=$ ________．

设函数 $f\left(x\right)={\text{e}}^x\cos x,g\left(x\right)$为 $f\left(x\right)$的导函数．

（Ⅰ）求 $f\left(x\right)$的单调区间；

（Ⅱ）当 $x\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$时，证明 $f\left(x\right)+g\left(x\right)\left(\frac{\pi }{2}-x\right)\ge 0$；

（Ⅲ）设 $x_n$为函数 $u\left(x\right)=f\left(x\right)-1\mathit{}$在区间 $\left(2\mathit{n\pi }+\frac{\pi }{4},2\mathit{n\pi }+\frac{\pi }{2}\right)$内的零点，其中 $n\in N$，证明 $2\mathit{n\pi }+\frac{\pi }{2}-x_n<\frac{e^{-2\mathit{n\pi }}}{\sin x_0-\cos x_0}$．

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^3-x^2+x$ ．

（Ⅰ）求曲线 $y=f\left(x\right)$ 的斜率为1的切线方程；

（Ⅱ）当 $x\in [-2,4]$ 时，求证： $x-6\le f\left(x\right)\le x$ ；

（Ⅲ）设 $F\left(x\right)=\left|f\right(x)-(x+a\left)\right|(a\in R)$ ，记 $F\left(x\right)$ 在区间 $[-2,4]$ 上的最大值为 $M\left(a\right)$ ，当 $M\left(a\right)$ 最小时，求 $a$ 的值．

已知函数 $f（x）=x^2+2\mathit{cosx}$ ， $g（x）=e^x（\mathit{cosx}﹣\mathit{sinx}+2x﹣2）$ ，其中 $e\approx 2.17828\dots$ 是自然对数的底数．

（Ⅰ）求曲线 $y=f（x）$ 在点 $\left(\pi ，f\left(\pi \right)\right)$ 处的切线方程；

（Ⅱ）令 $h\left(x\right)=g\left(x\right)\mathit{-}\mathit{a\; f}\left(x\right)\left(a\in R\right)$ ，讨论 $h\left(x\right)$ 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

定义首项为1且公比为正数的等比数列为"M－数列".

（1）已知等比数列{ a _n} $(n\in N^{*})$ 满足： $a_2{a}_4=a_5,a_3-4a_2+4a_4=0$ ，求证:数列{ a _n}为"M－数列"；

（2）已知数列{ b _n}满足: $b_1=1,\frac{1}{S_n}=\frac{2}{b_n}-\frac{2}{b_{n+1}}$ ，其中 S _n为数列{ b _n}的前 n项和．

①求数列{ b _n}的通项公式；

②设 m为正整数，若存在"M－数列"{ c _n} $(n\in N^{*})$ ，对任意正整数 k ，当 k≤ m时，都有 $c_k⩽b_k⩽c_{k+1}$ 成立，求 m的最大值．

设函数 $f\left(x\right)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c\in \text{R}$ 、 $f\text{'}\left(x\right)$ 为f（x）的导函数．

（1）若 a= b= c ， f（4）=8，求 a的值；

（2）若 a≠ b ， b= c ， 且 f（ x）和 $f\text{'}\left(x\right)$ 的零点均在集合 $\text{{}-3,1,3\text{}}$ 中，求 f（ x）的极小值；

（3）若 $a=0,0<b⩽1,c=1$ ，且 f（ x）的极大值为 M，求证: M≤ $\frac{4}{27}$ ．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是________.

设 $a>0,b>0$，已知函数 $f\left(x\right)=\frac{ax+b}{x+1}$．
（Ⅰ）当 $a\ne b$时，讨论函数 $f\left(x\right)$的单调性；
（Ⅱ）当 $x>0$时，称 $f\left(x\right)$为 $a,b$关于 $x$的加权平均数．
（1）判断 $f\left(1\right),f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right),f\left(\frac{b}{a}\right)$是否成等比数列，并证明 $f\left(\frac{b}{a}\right)\le f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)$；
（2） $a,b$的几何平均数记为 $G$．称 $\frac{2ab}{a+b}$为 $a,b$的调和平均数，记为 $H$．若 $H\le f\left(x\right)\le G$，求 $x$的取值范围．

已知函数 $f\left(x\right)=x(\ln x-ax)$有两个极值点，则实数 $a$的取值范围是（　　）

A．

$\left(-\infty ,0\right)$

B．

$\left(0,\frac{1}{2}\right)$

C．

$\left(0,1\right)$

D．

$\left(0,+\infty \right)$

设 $a+b=2,b>0$，则当 $a=$时， $\frac{1}{2\left|a\right|}+\frac{\left|a\right|}{b}$取得最小值．

已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

直线y = kx与曲线相切，则实数k = ．

函数的值域是 ．

设x₁、x₂是函数的两个极值点，且则b的最大值为_________．

如果函数的定义域为R，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”。
(1)判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有的值；若不具有“性质”，说明理由；
(2)已知具有“性质”，且当时，求在上有最大值；
(3)设函数具有“性质”，且当时，.若与交点个数为2013，求的值.