初中数学圆幂定理解答题

已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．

（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE．
（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；
（3）若BD=CD，直接写出∠BAD的度数．

已知：直角梯形中，∥，∠=，以为直径的圆交于点、，连结、、．
（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形：
_____________________，______________________ ；
（2）直角梯形中，以为坐标原点，在轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线经过点、、，且为抛物线的顶点．
①写出顶点的坐标（用含的代数式表示）___________；
②求抛物线的解析式；
③在轴下方的抛物线上是否存在这样的点，过点作⊥轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与△相似？

如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延长线交于点F，且∠F=∠ABC．

（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半径；
（2）求证：直线BF是⊙O的切线；
（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论．

如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为一边在第一象限内作正方形OABC，点D是x轴正半轴上一动点（OD>1，且OD≠2），连接BD，以BD为边在第一象限内作正方形DBFE，设M为正方形DBFE的中心，直线MA交y轴于点N．如果定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形．

（1）试找出图1中的一个损矩形                ；
（2）试说明（1）中找出的损矩形一定有外接圆；
（3）随着点D的位置变化，点N的位置是否会发生变化？若没有发生变化，求出点N的坐标；若发生变化，请说明理由．
（4）在图2中，过点M作MG⊥y轴，垂足是点G，连结DN，若四边形DMGN为损矩形，求点D的坐标．

已知，如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于A、C两点（A在C的左侧），交y轴于B、D两点（B在D的上方），且∠BAC＝30°，

（1）如图①求⊙P的半径及点B的坐标；
（2）点Q是⊙P上任意一点，求△ABQ面积S的取值范围；
（3）如图②，已知点M（－5，0），过M作直线y=kx+b交y轴于点N，
①若MN//AB，试判断MN与⊙P的位置关系，并说明理由；
②在该直线上存在一点G，使以G、A、C为顶点的三角形是直角三角形，且满足条件的点G有且只有三个不同位置，求直线MN的函数关系式．

如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE＝BC．

（1）求∠BAC的度数．
（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．求证：四边形AFHG是正方形．
（3）若BD＝6，CD＝4，求AD的长．

如图，三角形ABC内接于圆O，AB=8，AC=6，D是AB边上的一点，P是优弧BAC的中点，连结PA，PB，PC，PD．

（1）当AD的长度为多少时三角形PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明．
（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB=，求PA的长．

如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，弧AE=弧 AB，BE分别交AD、AC于点F、G．

（1）判断△FAG的形状，并说明理由；
（2）若点E和点A在BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，F是BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D、G两点，AD分别与EF，GF交于I、H两点．

（1）求证：AE∥FD；
（2）试判断AF和AB的数量关系，并证明你的结论；
（3）当G为线段DC的中点时，
①求证：AE=IE；
②设AC=12，BC=10，求GF的长．

如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E、F在边AD上运动，且AE=DF．CF交BD于G，BE交AG于H．

（1）求证：∠DAG=∠ABE；
（2）①求证：点H总在以AB为直径的圆弧上；
②画出点H所在的圆弧，并说明这个圆弧
的两个端点字母；
（3）直接写出线段DH长度的最小值．

如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．

（1）求证：⊙D与边BC也相切；
（2）设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF．若AB=，求图中阴影部分的面积（结果保留π）；
（3）假设⊙D的半径为r，⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动一周，当△MDF与△ABD的面积之比为时，求动点M经过的弧长（结果用含r 的式子表示，保留π）．

如图，点在轴的正半轴上，，，．点从点出发，沿轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为秒．

（1）点的坐标是        ；
（2）当时，求的值；
（3）以点为圆心，为半径的随点的运动而变化，当与四边形的边（或边所在的直线）相切时，求的值．

如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长 AO交⊙O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若平行四边形OABC的两边长是方程的两根，求平行四边形OABC的面积．

如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙C经过点O，交x轴的正半轴于点B （2，0），P是上的一个动点，且∠OPB＝30°．设P点坐标为（m，n）．

（1）当n＝2，求m的值；
（2）设图中阴影部分的面积为S，求S与n之间的函数关系式，并求S的最大值；
（3）试探索动点P在运动过程中，是否存在整点P（m，n）（横、纵坐标都为整数的点叫整点）?若存在，请求出；若不存在，请说明理由．

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，且AF⊥BC于D点．

求证：（1）△ADC∽△ABE；
（2）BE＝CF．