初中数学三角形的五心解答题

（本小题满分8分）如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12cm

（1）若OB=6cm．
①求点C的坐标；
②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；
（2）点C与点O的距离的最大值．

（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形（尺规作图，保留作图痕迹），并猜想BE与CD的关系：___________；你是通过证明_______________ 得到的；
（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？并说明理由；
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．

如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°．求∠DAC和∠BOA的度数．

如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD=6cm，DC=8cm，BC=12cm．动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1cm．两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．

（1）求线段AB的长．
（2）当t为何值时，MN∥CD？
（3）设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
（4）如图②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．

在中，AB= 20cm，BC=16cm，点D为线段AB的中点，动点P以2cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动，同时点Q以a cm/s（a＞0且a≠2）的速度从C点出发在线段CA上运动，设运动时间为x秒．

（1）若AB=AC，P在线段BC上，求当a为何值时，能够使△BPD和△CQP全等？
（2）若，求出发几秒后，为直角三角形？
（3）若，当的度数为多少时，为等腰三角形？（请直接写出答案，不必写出过程）．

如图，码头A在码头B的正东方向，两个码头之间的距离为32海里，今有一货船由码头A出发，沿北偏西60°方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏东45°方向，求码头A与小岛C的距离．（≈1.732，结果精确到0.01海里）

（本小题满分9分）如图1，已知B点坐标是（6，6），BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C，D在线段OA上，E在y轴的正半轴上,DE⊥BD，M是DE中点，且M在OB上．

（1）点M的坐标是（        ，        ），DE=        ；
（2）小明在研究动点问题时发现，如果有两点分别在两条互相垂直的直线上做匀速运动，连接这两点所得线段的中点将在同一条直线上运动，利用这一事实解答下列问题，如图2，如果一动点F从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时有一点G从点D出发以每秒个单位长度的速度向点O运动，点H从点E开始沿y轴正方向自由滑动，并始终保持GH=DE,P为FG的中点，Q为GH的中点,F与G两个点分别运动到各自终点时停止运动，分别求出在运动过程中点P、Q运动的路线长．
（3）连接PQ，求当运动多少秒时，PQ最小，最小值是多少？

（本题14分）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1当点D在线段BC上时．求证：CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长度．

如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=8，CD=10．

（1）求梯形ABCD的面积；
（2）动点P从点B出发，以2个单位/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以2个单位/s的速度沿C→D→A方向向点A运动；过点Q作QF⊥BC于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．问：
①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由．
②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？

如图，在△ABC中，BA=BC，D在边CB上，且DB=DA=AC．

（1）如图1，填空∠B=   °，∠C=    °；
（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC与点N、E，如图2
①求证：△ANE是等腰三角形；
②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE为BC边上的中线，CD⊥AE于点F，BD⊥BC于点B．

（1）试说明：AE＝CD；
（2）若AC＝10cm，求线段BD的长．

如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．

（1）试证明：AD∥BC；
（2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等．

如图，已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=-x²+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．

（1）求抛物线的解析式；
（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；
（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；
（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

小明遇到这样一个问题：已知：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求△ABC的面积．
小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答：

（1）求图1中△ABC的面积；
参考小明解决问题的方法，完成下列问题：
（2）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．
①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为、、的格点△DEF；
②计算△DEF的面积是           ．
（3）如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，PRDE，连接EF．若PQ=，PR=，QR=，求六边形AQRDEF的面积．