初中数学锐角三角函数的定义试题

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$是边 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{AE}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $F$，则 $\tan \angle \mathit{BDE}$的值是 $($　　 $)$

A． $\frac{\sqrt{2}}{4}$B． $\frac{1}{4}$C． $\frac{1}{3}$D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

问题呈现

如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点 $D$， $N$和 $E$， $C$， $\mathit{DN}$和 $\mathit{EC}$相交于点 $P$，求 $\tan \angle \mathit{CPN}$的值．

方法归纳

求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中 $\angle \mathit{CPN}$不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点 $M$， $N$，可得 $\mathit{MN}//\mathit{EC}$，则 $\angle \mathit{DNM}=\angle \mathit{CPN}$，连接 $\mathit{DM}$，那么 $\angle \mathit{CPN}$就变换到 $\text{Rt}\Delta \text{DMN}$中．

问题解决

（1）直接写出图1中 $\tan \angle \mathit{CPN}$的值为　2　；

（2）如图2，在边长为1的正方形网格中， $\mathit{AN}$与 $\mathit{CM}$相交于点 $P$，求 $\cos \angle \mathit{CPN}$的值；

思维拓展

（3）如图3， $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{AB}=4\mathit{BC}$，点 $M$在 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{AM}=\mathit{BC}$，延长 $\mathit{CB}$到 $N$，使 $\mathit{BN}=2\mathit{BC}$，连接 $\mathit{AN}$交 $\mathit{CM}$的延长线于点 $P$，用上述方法构造网格求 $\angle \mathit{CPN}$的度数．

如图，点 $M$是正方形 $\mathit{ABCD}$边 $\mathit{CD}$上一点，连接 $\mathit{AM}$，作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AM}$于点 $E$， $\mathit{BF}\perp \mathit{AM}$于点 $F$，连接 $\mathit{BE}$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{BF}$；

（2）已知 $\mathit{AF}=2$，四边形 $\mathit{ABED}$的面积为24，求 $\angle \mathit{EBF}$的正弦值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{\Delta DBC}$和 $\mathit{\Delta ABC}$关于直线 $\mathit{BC}$对称，连接 $\mathit{AD}$，与 $\mathit{BC}$相交于点 $O$，过点 $C$作 $\mathit{CE}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $C$， $\mathit{AD}$相交于点 $E$，若 $\mathit{AD}=8$， $\mathit{BC}=6$，则 $\frac{2\mathit{OE}+\mathit{AE}}{\mathit{BD}}$的值为 $($　　 $)$

A． $\frac{4}{3}$B． $\frac{3}{4}$C． $\frac{5}{3}$D． $\frac{5}{4}$

$\mathit{\Delta ABC}$在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为 $1)$， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于 $D$，下列四个选项中，错误的是 $($　　 $)$

A． $\sin \alpha =\cos \alpha$B． $\tan C=2$C． $\sin \beta =\cos \beta$D． $\tan \alpha =1$

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle B=90°$， $\mathit{AB}=2\sqrt{5}$， $\mathit{BC}=\sqrt{5}$．将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$按逆时针方向旋转 $90°$得到△ $A{B}^{\text{'}}C\text{'}$，连接 $B^{\text{'}}C$，则 $\sin \angle \mathit{ACB}\text{'}=$　　．

如图所示， $\mathit{\Delta ABC}$的顶点在正方形网格的格点上，则 $\tan A$的值为 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{2}$B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$C．2D． $2\sqrt{2}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$分别交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$于点 $D$、 $E$，点 $F$在 $\mathit{AC}$的延长线上，且 $\angle \mathit{BAC}=2\angle \mathit{CBF}$．

（1）求证： $\mathit{BF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\odot O$的直径为4， $\mathit{CF}=6$，求 $\tan \angle \mathit{CBF}$．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{DAB}$，已知 $\mathit{CE}=6$， $\mathit{BE}=8$， $\mathit{DE}=10$．

（1）求证： $\angle \mathit{BEC}=90°$；

（2）求 $\cos \angle \mathit{DAE}$．

如图， $\mathit{AB}$是圆锥的母线， $\mathit{BC}$为底面直径，已知 $\mathit{BC}=6\mathit{cm}$，圆锥的侧面积为 $15\mathit{\pi c}{m}^2$，则 $\sin \angle \mathit{ABC}$的值为 $($　　 $)$

A． $\frac{3}{4}$B． $\frac{3}{5}$C． $\frac{4}{5}$D． $\frac{5}{3}$

如图，在 $4\times 4$ 的正方形网格图中，已知点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $O$ 均在格点上，其中 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 又在 $\odot O$ 上，点 $E$ 是线段 $\mathit{CD}$ 与 $\odot O$ 的交点．则 $\angle \mathit{BAE}$ 的正切值为 　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\mathit{\Delta DBC}$ 和 $\mathit{\Delta ABC}$ 关于直线 $\mathit{BC}$ 对称，连接 $\mathit{AD}$ ，与 $\mathit{BC}$ 相交于点 $O$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CE}\perp \mathit{CD}$ ，垂足为 $C$ ， $\mathit{AD}$ 相交于点 $E$ ，若 $\mathit{AD}=8$ ， $\mathit{BC}=6$ ，则 $\frac{2\mathit{OE}+\mathit{AE}}{\mathit{BD}}$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{4}{3}$

B．

$\frac{3}{4}$

C．

$\frac{5}{3}$

D．

$\frac{5}{4}$

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\mathit{AC}=4$ ， $\mathit{BD}=8$ ，点 $E$ 在边 $\mathit{AD}$ 上， $\mathit{AE}=\frac{1}{3}\mathit{AD}$ ，连结 $\mathit{BE}$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $M$ ．

（1）求 $\mathit{AM}$ 的长．

（2） $\tan \angle \mathit{MBO}$ 的值为 　　．

问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{AD}$是中线，求 $\mathit{AD}$的取值范围．她的做法是：延长 $\mathit{AD}$到 $E$，使 $\mathit{DE}=\mathit{AD}$，连接 $\mathit{BE}$，证明 $\mathit{\Delta BED}\cong \mathit{\Delta CAD}$，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：（1）小红证明 $\mathit{\Delta BED}\cong \mathit{\Delta CAD}$的判定定理是：　 　；

（2） $\mathit{AD}$的取值范围是　　；

方法运用：

（3）如图2， $\mathit{AD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的中线，在 $\mathit{AD}$上取一点 $F$，连结 $\mathit{BF}$并延长交 $\mathit{AC}$于点 $E$，使 $\mathit{AE}=\mathit{EF}$，求证： $\mathit{BF}=\mathit{AC}$．

（4）如图3，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{1}{2}$，在 $\mathit{BD}$上取一点 $F$，以 $\mathit{BF}$为斜边作 $\text{Rt}\Delta \text{BEF}$，且 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{BE}}=\frac{1}{2}$，点 $G$是 $\mathit{DF}$的中点，连接 $\mathit{EG}$， $\mathit{CG}$，求证： $\mathit{EG}=\mathit{CG}$．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $D$在 $\odot O$上（点 $D$不与 $A$， $B$重合），直线 $\mathit{AD}$交过点 $B$的切线于点 $C$，过点 $D$作 $\odot O$的切线 $\mathit{DE}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{BE}=\mathit{CE}$；

（2）若 $\mathit{DE}//\mathit{AB}$，求 $\sin \angle \mathit{ACO}$的值．