初中数学正多边形和圆试题

如图， $\odot O$是正五边形 $\mathit{ABCDE}$的外接圆，点 $P$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AE}}$的一点，则 $\angle \mathit{CPD}$的度数是 $($　　 $)$

A． $30°$B． $36°$C． $45°$D． $72°$

如图，∠MON＝60°，作边长为1的正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁，边A₁B₁、F₁E₁分别在射线OM、ON上，边C₁D₁所在的直线分别交OM、ON于点A₂、F₂，以A₂F₂为边作正六边形A₂B₂C₂D₂E₂F₂，边C₂D₂所在的直线分别交OM、ON于点A₃、F₃，再以A₃F₃为边作正六边形A₃B₃C₃D₃E₃F₃，…，依此规律，经第n次作图后，点B_n到ON的距离是　　．

如图，正五边形 $\mathit{ABCDE}$内接于 $\odot O$，点 $F$在 $\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$上，则 $\angle \mathit{BFE}$的度数为　　．

下列说法正确的是 $($ 　　 $)$

① $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 的值大于 $\frac{1}{2}$ ；

②正六边形的内角和是 $720°$ ，它的边长等于半径；

③从一副扑克牌中随机抽取一张，它是黑桃的概率是 $\frac{1}{4}$ ；

④甲、乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是 $s^2\_甲$ ， $s^2\_乙$ ，则乙的射击成绩比甲稳定．

A．

①②③④

B．

①②④

C．

①④

D．

②③

如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为　　．

如图，在边长为的正六边形中，点在上，则的面积为　　．

正方形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$，如图所示，在劣弧 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$上取一点 $E$，连接 $\mathit{DE}$、 $\mathit{BE}$，过点 $D$作 $\mathit{DF}//\mathit{BE}$交 $\odot O$于点 $F$，连接 $\mathit{BF}$、 $\mathit{AF}$，且 $\mathit{AF}$与 $\mathit{DE}$相交于点 $G$，求证：

（1）四边形 $\mathit{EBFD}$是矩形；

（2） $\mathit{DG}=\mathit{BE}$．

据《汉书律历志》记载：“量者，龠yuè、合、升、斗、斛hú也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜huán其外，旁有庣tiāo焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．

问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为　　尺．（结果用最简根式表示）

设边长为 $a$ 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为 $h$ 、 $r$ 、 $R$ ，则下列结论不正确的是 $($ 　　 $)$

A．

$h=R+r$

B．

$R=2r$

C．

$r=\frac{\sqrt{3}}{4}a$

D．

$R=\frac{\sqrt{3}}{3}a$

观察下列结论：

（1）如图①，在正三角形中，点，是，上的点，且，则，；

（2）如图2，在正方形中，点，是，上的点，且，则，；

（3）如图③，在正五边形中点，是，上的点，且，则，；

根据以上规律，在正边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点，是，上的点，且，与相交于．也会有类似的结论，你的结论是　　．

阅读下列材料：

已知：如图1，等边△ $A_1{A}_2{A}_3$内接于 $\odot O$，点 $P$是 $\stackrel{̂}{A_1{A}_2}$上的任意一点，连接 $P{A}_1$， $P{A}_2$， $P{A}_3$，可证： $P{A}_1+P{A}_2=P{A}_3$，从而得到： $\frac{P{A}_1+P{A}_2}{P{A}_1+P{A}_2+P{A}_3}=\frac{1}{2}$是定值．

（1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整；

证明：如图1，作 $\angle P{A}_{1}M=60°$， $A_{1}M$交 $A_{2}P$的延长线于点 $M$．

$\because$△ $A_1{A}_2{A}_3$是等边三角形，

$\therefore \angle A_3{A}_1{A}_2=60°$，

$\therefore \angle A_3{A}_{1}P=\angle A_2{A}_{1}M$

又 $A_3{A}_1=A_2{A}_1$， $\angle A_1{A}_{3}P=\angle A_1{A}_{2}P$，

$\therefore$△ $A_1{A}_{3}P\cong$△ $A_1{A}_{2}M$

$\therefore P{A}_3=M{A}_2=P{A}_2+\mathit{PM}=P{A}_2+P{A}_1$．

$\therefore \frac{P{A}_1+P{A}_2}{P{A}_1+P{A}_2+P{A}_3}=\frac{1}{2}$，是定值．

（2）延伸：如图2，把（1）中条件“等边△ $A_1{A}_2{A}_3$”改为“正方形 $A_1{A}_2{A}_3{A}_4$”，其余条件不变，请问： $\frac{P{A}_1+P{A}_2}{P{A}_1+P{A}_2+P{A}_3+P{A}_4}$还是定值吗？为什么？

（3）拓展：如图3，把（1）中条件“等边△ $A_1{A}_2{A}_3$”改为“正五边形 $A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5$”，其余条件不变，则 $\frac{P{A}_1+P{A}_2}{P{A}_1+P{A}_2+P{A}_3+P{A}_4+P{A}_5}=$　　（只写出结果）．

如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径 $d$ ，根据我国魏晋时期数学家刘徽的"割圆术"思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计 $\pi$ 的值，下面 $d$ 及 $\pi$ 的值都正确的是 $($ 　　 $)$

A．	$d=\frac{8(\sqrt{2}-1)}{\sin 22.5°}$ ， $\pi \approx 8\sin 22.5°$
B．	$d=\frac{4(\sqrt{2}-1)}{\sin 22.5°}$ ， $\pi \approx 4\sin 22.5°$
C．	$d=\frac{4(\sqrt{2}-1)}{\sin 22.5°}$ ， $\pi \approx 8\sin 22.5°$
D．	$d=\frac{8(\sqrt{2}-1)}{\sin 22.5°}$ ， $\pi \approx 4\sin 22.5°$

刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆 $O$的半径为1，若用圆 $O$的外切正六边形的面积 $S$来近似估计圆 $O$的面积，则 $S=$　　．（结果保留根号）

如图，用等分圆的方法，在半径为 $\mathit{OA}$的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若 $\mathit{OA}=2$，则四叶幸运草的周长是　　．

如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π+1B．π+2C．π﹣1D．π﹣2