初中数学正多边形和圆试题

尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：

①将半径为 $r$的 $\odot O$六等分，依次得到 $A$， $B$， $C$， $D$， $E$， $F$六个分点；

②分别以点 $A$， $D$为圆心， $\mathit{AC}$长为半径画弧， $G$是两弧的一个交点；

③连接 $\mathit{OG}$．

问： $\mathit{OG}$的长是多少？

大臣给出的正确答案应是 $($　　 $)$

A． $\sqrt{3}r$B． $(1+\frac{\sqrt{2}}{2})r$C． $(1+\frac{\sqrt{3}}{2})r$D． $\sqrt{2}r$

如图所示的正六边形 $\mathit{ABCDEF}$，连接 $\mathit{FD}$，则 $\angle \mathit{FDC}$的大小为　　．

半径为 $R$的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为 $a$， $b$， $c$，则 $a$， $b$， $c$的大小关系是 $($　　 $)$

A． $a<b<c$B． $b<a<c$C． $a<c<b$D． $c<b<a$

如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形 $\mathit{ABCD}$，则四边形 $\mathit{ABCD}$的周长是　　．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ ，点 $P$ 在 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 上，则 $\angle \mathit{BPC}$ 的度数为 $($ 　　 $)$

A．

$30°$

B．

$45°$

C．

$60°$

D．

$90°$

如图，正六边形 $\mathit{ABCDEF}$的边长是 $6+4\sqrt{3}$，点 $O_1$， $O_2$分别是 $\mathit{\Delta ABF}$， $\mathit{\Delta CDE}$的内心，则 $O_1{O}_2=$　　．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是　　（结果用含 $\pi$的式子表示）．

如图，在正六边形 $\mathit{ABCDEF}$中， $\mathit{AC}=2\sqrt{3}$，则它的边长是 $($　　 $)$

A．1B． $\sqrt{2}$C． $\sqrt{3}$D．2

如图， $\mathit{ABCDEF}$为 $\odot O$的内接正六边形， $\mathit{AB}=a$，则图中阴影部分的面积是 $($　　 $)$

A． $\frac{\pi }{6}{a}^2$B． $(\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{4})a^2$C． $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$D． $(\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4})a^2$

如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为　　．

如图，将边长为3的正六边形铁丝框 $\mathit{ABCDEF}$变形为以点 $A$为圆心， $\mathit{AB}$为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）．则所得扇形 $\mathit{AFB}$（阴影部分）的面积为　　．

如图，正六边形 $\mathit{ABCDEF}$内接于 $\odot O$， $\mathit{BE}$是 $\odot O$的直径，连接 $\mathit{BF}$，延长 $\mathit{BA}$，过 $F$作 $\mathit{FG}\perp \mathit{BA}$，垂足为 $G$．

（1）求证： $\mathit{FG}$是 $\odot O$的切线；

（2）已知 $\mathit{FG}=2\sqrt{3}$，求图中阴影部分的面积．

如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径 $d$ ，根据我国魏晋时期数学家刘徽的"割圆术"思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计 $\pi$ 的值，下面 $d$ 及 $\pi$ 的值都正确的是 $($ 　　 $)$

A．	$d=\frac{8(\sqrt{2}-1)}{\sin 22.5°}$ ， $\pi \approx 8\sin 22.5°$
B．	$d=\frac{4(\sqrt{2}-1)}{\sin 22.5°}$ ， $\pi \approx 4\sin 22.5°$
C．	$d=\frac{4(\sqrt{2}-1)}{\sin 22.5°}$ ， $\pi \approx 8\sin 22.5°$
D．	$d=\frac{8(\sqrt{2}-1)}{\sin 22.5°}$ ， $\pi \approx 4\sin 22.5°$

刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆 $O$的半径为1，若用圆 $O$的外切正六边形的面积 $S$来近似估计圆 $O$的面积，则 $S=$　　．（结果保留根号）

如图，用等分圆的方法，在半径为 $\mathit{OA}$的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若 $\mathit{OA}=2$，则四叶幸运草的周长是　　．