初中数学圆内接四边形的性质解答题

动手实验：利用矩形纸片（图1）剪出一个正六边形纸片；利用这个正六边形纸片做一个如图（2）无盖的正六棱柱（棱柱底面为正六边形）；
（1）做一个这样的正六棱柱所需最小的矩形纸片的长与宽的比为多少？
（2）在（1）的前提下，当矩形的长为2时，要使无盖正六棱柱侧面积最大，正六棱柱的高为多少？并求此时矩形纸片的利用率？（矩形纸片的利用率=无盖正六棱柱的表面积/矩形纸片的面积）

如图，在△ABC中，AB=6，BC=9,AC=8，点P在△ABC内部，过点P分别画AB、BC、CA的平行线，与各边分别相交得线段DE、FG、HK，已知线段DE、FG、HK的长度都为d,求d的值．

分别以□ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．

（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的数量关系及位置关系；（只写结论，不需证明）
（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

（本题14分）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1当点D在线段BC上时．求证：CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长度．

14分）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF

（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC 求OC的长度．

（本题14分）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B₁是点B关于PQ的对称点．
（1）若四边形OABC为矩形，如图1，
①求点B的坐标；
②若BQ：BP=1：2，且点B₁落在OA上，求点B₁的坐标；
（2）若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B₁作B₁F∥轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、点F．若B₁E： B₁F=1：3，点B₁的横坐标为，求点B₁的纵坐标，并直接写出的取值范围．

如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合．三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．

（1）求证：EF＝EG；
（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a，BC＝b，请直接写出的值．

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的OA边在轴上，OC边在轴上，且B点坐标为（4，3）．动点M、N分别从点O、B同时出发，以1单位/秒的速度运动（点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动），过点N作NP∥AB交AC于点P，连结MP．

（1）直接写出OA、AB的长度；
（2）试说明△CPN∽△CAB；
（3）在两点的运动过程中，请求出ΔMPA的面积S与运动时间的函数关系式；
（4）在运动过程中，△MPA的面积S是否存在最大值？若存在，请求出当为何值时有最大值，并求出最大值；若不存在，请说明理由．

（本题共12分）定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1）已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，．求，的度数．
（2）在探究“等对角四边形”性质时：
① 小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，，此时她发现成立．请你证明此结论．
② 由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．
（3）已知：在“等对角四边形”中，，，，．求对角线的长．

如图，在锐角三角形 $\mathit{ABC}$ 中， $\mathit{AD}$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的高，以 $\mathit{AD}$ 为直径的 $\odot O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ，过点 $F$ 作 $\mathit{FG}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $H$ ，交 $\stackrel{̂}{\mathit{AE}}$ 于点 $G$ ，交 $\mathit{AD}$ 于点 $M$ ，连接 $\mathit{AG}$ ， $\mathit{DE}$ ， $\mathit{DF}$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{GAD}+\angle \mathit{EDF}=180°$ ；

（2）若 $\angle \mathit{ACB}=45°$ ， $\mathit{AD}=4$ ， $\tan \angle \mathit{ABC}=2$ ，求 $\mathit{HF}$ 的长．

如图1，四边形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AD}$ 为直径，点 $C$ 作 $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$ 于点 $E$ ，连接 $\mathit{AC}$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{CAD}=\angle \mathit{ECB}$ ；

（2）若 $\mathit{CE}$ 是 $\odot O$ 的切线， $\angle \mathit{CAD}=30°$ ，连接 $\mathit{OC}$ ，如图2．

①请判断四边形 $\mathit{ABCO}$ 的形状，并说明理由；

②当 $\mathit{AB}=2$ 时，求 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{AC}$ 与 $\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$ 围成阴影部分的面积．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$，点 $C$在劣弧 $\mathit{AB}$上（不与点 $A$， $B$重合），点 $D$为弦 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{DE}$与 $\mathit{AC}$的延长线交于点 $E$，射线 $\mathit{AO}$与射线 $\mathit{EB}$交于点 $F$，与 $\odot O$交于点 $G$，设 $\angle \mathit{GAB}=\alpha$， $\angle \mathit{ACB}=\beta$， $\angle \mathit{EAG}+\angle \mathit{EBA}=\gamma$，

（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：

$\alpha$	$30°$	$40°$	$50°$	$60°$
$\beta$	$120°$	$130°$	$140°$	$150°$
$\gamma$	$150°$	$140°$	$130°$	$120°$

猜想： $\beta$关于 $\alpha$的函数表达式， $\gamma$关于 $\alpha$的函数表达式，并给出证明；

（2）若 $\gamma =135°$， $\mathit{CD}=3$， $\mathit{\Delta ABE}$的面积为 $\mathit{\Delta ABC}$的面积的4倍，求 $\odot O$半径的长．

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．

（1）用含有t的代数式表示PE=           ；
（2）探究：当t为何值时，四边形PQBE为梯形？
（3）是否存在这样的点P和点Q，使△PQE为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．

（1）探究：如图1和2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．
①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能证得EF=BE+DF，请写出推理过程；
②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系          时，仍有EF=BE+DF；
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．

在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，点M为BC边上一动点（点M与点B、C不重合），连接AM，过点M作MN⊥AM，垂足为M，MN交CD或CD的延长线于点N．

（1）求证：△CMN∽△BAM；
（2）设BM=x，CN=y，求y关于x的函数解析式．当x取何值时，y有最大值，并求出y的最大值；
（3）当点M在BC上运动时，求使得下列两个条件都成立的b的取值范围：①点N始终在线段CD上，②点M在某一位置时，点N恰好与点D重合．