初中数学垂径定理试题

如图， $\mathit{BC}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{AD}$ 是 $\odot O$ 的弦， $\mathit{AD}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $E$ ，连接 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{CD}$ ，过点 $E$ 作 $\mathit{EF}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $F$ ， $\angle \mathit{AEF}=\angle D$ ．

（1）求证： $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$ ；

（2）点 $G$ 在 $\mathit{BC}$ 的延长线上，连接 $\mathit{AG}$ ， $\angle \mathit{DAG}=2\angle D$ ．

①求证： $\mathit{AG}$ 与 $\odot O$ 相切；

②当 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{BF}}=\frac{2}{5}$ ， $\mathit{CE}=4$ 时，直接写出 $\mathit{CG}$ 的长．

四边形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{AD}=\mathit{CD}$ ．

（1）如图1，求证 $\angle \mathit{ABC}=2\angle \mathit{ACD}$ ；

（2）过点 $D$ 作 $\odot O$ 的切线，交 $\mathit{BC}$ 延长线于点 $P$ （如图 $2)$ ．若 $\tan \angle \mathit{CAB}=\frac{5}{12}$ ， $\mathit{BC}=1$ ，求 $\mathit{PD}$ 的长．

已知的半径为，弦的长为，则圆心到的距离为　　．

如图，在平面直角坐标系中，点 $P$ 在第一象限， $\odot P$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴都相切，且经过矩形 $\mathit{AOBC}$ 的顶点 $C$ ，与 $\mathit{BC}$ 相交于点 $D$ ．若 $\odot P$ 的半径为5，点 $A$ 的坐标是 $(0,8)$ ．则点 $D$ 的坐标是 $($ 　　 $)$

A．

$(9,2)$

B．

$(9,3)$

C．

$(10,2)$

D．

$(10,3)$

如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分．

（1）求证：为的切线．

（2）若，，求的半径．

定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．

（1）下面四边形是垂等四边形的是 　 　；（填序号）

①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形

（2）图形判定：如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ ， $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{BD}$ 垂线交 $\mathit{BC}$ 的延长线于点 $E$ ，且 $\angle \mathit{DBC}=45°$ ，证明：四边形 $\mathit{ABCD}$ 是垂等四边形．

（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ 中， $\angle \mathit{BCD}=60°$ ．求 $\odot O$ 的半径．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ ， $\mathit{AB}=2\sqrt{3}a$ ， $\angle \mathit{ABC}=60$ ，过点 $B$ 的 $\odot O$ 与边 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 分别交于 $E$ ， $F$ 两点． $\mathit{OG}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $G$ ， $\mathit{OG}=a$ ．连接 $\mathit{OB}$ ， $\mathit{OE}$ ， $\mathit{OF}$ ．

（1）若 $\mathit{BF}=2a$ ，试判断 $\mathit{\Delta BOF}$ 的形状，并说明理由；

（2）若 $\mathit{BE}=\mathit{BF}$ ，求证： $\odot O$ 与 $\mathit{AD}$ 相切于点 $A$ ．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $E$ ， $C$ 是 $\odot O$ 上两点，且 $\stackrel{̂}{\mathit{EC}}=\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$ ，连接 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{AC}$ ．过点 $C$ 作 $\mathit{CD}\perp \mathit{AE}$ 交 $\mathit{AE}$ 的延长线于点 $D$ ．

（1）判定直线 $\mathit{CD}$ 与 $\odot O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{CD}=\sqrt{3}$ ，求图中阴影部分的面积．

在中，若弦垂直平分半径，则弦所对的圆周角等于　　．

如图，在半径为3的 $\odot O$ 中， $\mathit{AB}$ 是直径， $\mathit{AC}$ 是弦， $D$ 是 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$ 的中点， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $E$ ．若 $E$ 是 $\mathit{BD}$ 的中点，则 $\mathit{AC}$ 的长是 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{5}{2}\sqrt{3}$

B．

$3\sqrt{3}$

C．

$3\sqrt{2}$

D．

$4\sqrt{2}$

如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在 $\odot O$ 上， $\mathit{OA}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $E$ ．若 $\angle \mathit{ADC}=30°$ ， $\mathit{AE}=1$ ，则 $\mathit{BC}=($ 　　 $)$

A．

2

B．

4

C．

$\sqrt{3}$

D．

$2\sqrt{3}$

如图， $\odot O$ 中， $\mathit{OC}\perp \mathit{AB}$ ， $\angle \mathit{APC}=28°$ ，则 $\angle \mathit{BOC}$ 的度数为 $($ 　　 $)$

A．

$14°$

B．

$28°$

C．

$42°$

D．

$56°$

如图， $\odot O$ 的直径 $\mathit{CD}=20$ ， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的弦， $\mathit{AB}\perp \mathit{CD}$ ，垂足为 $M$ ， $\mathit{OM}:\mathit{OC}=3:5$ ，则 $\mathit{AB}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

8

B．

12

C．

16

D．

$2\sqrt{91}$

在半径为的中，弦垂直于弦，垂足为，，则　     　．

如图，是的直径，点在直径上与，不重合），，且，连接，与交于点，在上取一点，使．

（1）求证：是的切线；

（2）若是的中点，，求的长．