初中数学正方形的性质选择题

如图，把含 $30°$ 的直角三角板 $\mathit{PMN}$ 放置在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{PMN}=30°$ ，直角顶点 $P$ 在正方形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{BD}$ 上，点 $M$ ， $N$ 分别在 $\mathit{AB}$ 和 $\mathit{CD}$ 边上， $\mathit{MN}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $O$ ，且点 $O$ 为 $\mathit{MN}$ 的中点，则 $\angle \mathit{AMP}$ 的度数为 $($ 　　 $)$

A．

$60°$

B．

$65°$

C．

$75°$

D．

$80°$

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 交于点 $O$ ， $M$ 是边 $\mathit{AD}$ 上一点，连接 $\mathit{OM}$ ，过点 $O$ 作 $\mathit{ON}\perp \mathit{OM}$ ，交 $\mathit{CD}$ 于点 $N$ ．若四边形 $\mathit{MOND}$ 的面积是1，则 $\mathit{AB}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

1

B．

$\sqrt{2}$

C．

2

D．

$2\sqrt{2}$

由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 $\mathit{ABCD}$ 如图所示．过点 $D$ 作 $\mathit{DF}$ 的垂线交小正方形对角线 $\mathit{EF}$ 的延长线于点 $G$ ，连结 $\mathit{CG}$ ，延长 $\mathit{BE}$ 交 $\mathit{CG}$ 于点 $H$ ．若 $\mathit{AE}=2\mathit{BE}$ ，则 $\frac{\mathit{CG}}{\mathit{BH}}$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{3}{2}$

B．

$\sqrt{2}$

C．

$\frac{3\sqrt{10}}{7}$

D．

$\frac{3\sqrt{5}}{5}$

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=6$ ， $M$ 是 $\mathit{AD}$ 边上的一点， $\mathit{AM}:\mathit{MD}=1:2$ 。将 $\mathit{\Delta BMA}$ 沿 $\mathit{BM}$ 对折至 $\mathit{\Delta BMN}$ ，连接 $\mathit{DN}$ ，则 $\mathit{DN}$ 的长是 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{5}{2}$

B．

$\frac{9\sqrt{5}}{8}$

C．

3

D．

$\frac{6\sqrt{5}}{5}$

七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示 $.19$ 世纪传到国外，被称为"唐图"（意为"来自中国的拼图" $)$ ，图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的"叶问蹬"图，则图中抬起的"腿"（即阴影部分）的面积为 $($ 　　 $)$

A．

3

B．

$\frac{7}{2}$

C．

2

D．

$\frac{5}{2}$

如图，在边长为2的正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AE}$ 是以 $\mathit{BC}$ 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{3+\pi }{2}$

B．

$\pi -2$

C．

1

D．

$\frac{5-\pi }{2}$

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为2， $O$ 为对角线的交点，点 $E$ ， $F$ 分别为 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{AD}$ 的中点．以 $C$ 为圆心，2为半径作圆弧 $\mathit{BD}$ ，再分别以 $E$ ， $F$ 为圆心，1为半径作圆弧 $\mathit{BO}$ ， $\mathit{OD}$ ，则图中阴影部分的面积为 $($ 　　 $)$

A．

$\pi -1$

B．

$\pi -3$

C．

$\pi -2$

D．

$4-\pi$

如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径 $d$ ，根据我国魏晋时期数学家刘徽的"割圆术"思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计 $\pi$ 的值，下面 $d$ 及 $\pi$ 的值都正确的是 $($ 　　 $)$

A．	$d=\frac{8(\sqrt{2}-1)}{\sin 22.5°}$ ， $\pi \approx 8\sin 22.5°$
B．	$d=\frac{4(\sqrt{2}-1)}{\sin 22.5°}$ ， $\pi \approx 4\sin 22.5°$
C．	$d=\frac{4(\sqrt{2}-1)}{\sin 22.5°}$ ， $\pi \approx 8\sin 22.5°$
D．	$d=\frac{8(\sqrt{2}-1)}{\sin 22.5°}$ ， $\pi \approx 4\sin 22.5°$

在平面直角坐标系中，点 $A(3,0)$ ， $B(0,4)$ ．以 $\mathit{AB}$ 为一边在第一象限作正方形 $\mathit{ABCD}$ ，则对角线 $\mathit{BD}$ 所在直线的解析式为 $($ 　　 $)$

A．

$y=-\frac{1}{7}x+4$

B．

$y=-\frac{1}{4}x+4$

C．

$y=-\frac{1}{2}x+4$

D．

$y=4$

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ ，线段 $\mathit{MN}$ 在对角线 $\mathit{BD}$ 上运动，若 $\odot O$ 的面积为 $2\pi$ ， $\mathit{MN}=1$ ，则 $\mathit{\Delta AMN}$ 周长的最小值是 $($ 　　 $)$

A．

3

B．

4

C．

5

D．

6

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形 $\mathit{ABCD}$ 的面积为 $S$ ，黑色部分面积为 $S_1$ ，则 $S_1:S$ 的比值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{\pi }{8}$

B．

$\frac{\pi }{4}$

C．

$\frac{1}{4}$

D．

$\frac{1}{2}$

如图，已知 $F$ 、 $E$ 分别是正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边 $\mathit{AB}$ 与 $\mathit{BC}$ 的中点， $\mathit{AE}$ 与 $\mathit{DF}$ 交于 $P$ ．则下列结论成立的是 $($ 　　 $)$

A．	$\mathit{BE}=\frac{1}{2}\mathit{AE}$	B．	$\mathit{PC}=\mathit{PD}$
C．	$\angle \mathit{EAF}+\angle \mathit{AFD}=90°$	D．	$\mathit{PE}=\mathit{EC}$

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 在 $\mathit{BC}$ 的延长线上，连接 $\mathit{DE}$ ，点 $F$ 是 $\mathit{DE}$ 的中点，连接 $\mathit{OF}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $G$ ，连接 $\mathit{CF}$ ，若 $\mathit{CE}=4$ ， $\mathit{OF}=6$ ．则下列结论：① $\mathit{GF}=2$ ；② $\mathit{OD}=\sqrt{2}\mathit{OG}$ ；③ $\tan \angle \mathit{CDE}=\frac{1}{2}$ ；④ $\angle \mathit{ODF}=\angle \mathit{OCF}=90°$ ；⑤点 $D$ 到 $\mathit{CF}$ 的距离为 $\frac{8\sqrt{5}}{5}$ ．其中正确的结论是 $($ 　　 $)$

A．

①②③④

B．

①③④⑤

C．

①②③⑤

D．

①②④⑤

如图， $F$ 是线段 $\mathit{CD}$ 上除端点外的一点，将 $\mathit{\Delta ADF}$ 绕正方形 $\mathit{ABCD}$ 的顶点 $A$ 顺时针旋转 $90°$ ，得到 $\mathit{\Delta ABE}$ ．连接 $\mathit{EF}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $H$ ．下列结论正确的是 $($ 　　 $)$

A．	$\angle \mathit{EAF}=120°$	B．	$\mathit{AE}:\mathit{EF}=1:\sqrt{3}$
C．	$A{F}^2=\mathit{EH}\cdot \mathit{EF}$	D．	$\mathit{EB}:\mathit{AD}=\mathit{EH}:\mathit{HF}$

如图，在边长为2的正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，若将 $\mathit{AB}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60°$ ，使点 $B$ 落在点 $B\text{'}$ 的位置，连接 $\mathit{BB}\text{'}$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BB}\text{'}$ ，交 $\mathit{BB}\text{'}$ 的延长线于点 $E$ ，则 $B\text{'}E$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

$\sqrt{3}-1$

B．

$2\sqrt{3}-2$

C．

$\frac{2}{3}\sqrt{3}$

D．

$\frac{4}{3}\sqrt{3}$