初中数学全等三角形的判定解答题

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $E$， $F$是对角线 $\mathit{AC}$上的两点，且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta CDF}$；

（2）证明四边形 $\mathit{BEDF}$是菱形．

人教版初中数学教科书八年级上册第 $35-36$页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：

已知： $\mathit{\Delta ABC}$． 求作：△ $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$，使得△ $A\text{'}B\text{'}C\text{'}\cong \mathit{\Delta ABC}$． 作法：如图． （1）画 $B^{\text{'}}C\text{'}=\mathit{BC}$； （2）分别以点 $B\text{'}$， $C\text{'}$为圆心，线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$长为半径画弧，两弧相交于点 $A\text{'}$； （3）连接线段 $A\text{'}B\text{'}$， $A\text{'}C\text{'}$，则△ $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$即为所求作的三角形．

请你根据以上材料完成下列问题：

（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上） $:$

证明：由作图可知，在△ $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$和 $\mathit{\Delta ABC}$中，

$\left\{\begin{array}{c}B\text{'}C\text{'}=\mathit{BC}\\ A\text{'}B\text{'}=\left(\right)\\ A\text{'}C\text{'}=\left(\right)\end{array}\right.$

$\therefore$△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}C\text{'}\cong$　　．

（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 　　．（填序号）

① $\mathit{AAS}$

② $\mathit{ASA}$

③ $\mathit{SAS}$

④ $\mathit{SSS}$

如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 在同一条直线上， $\mathit{AB}=\mathit{DE}$ ， $\mathit{AC}//\mathit{DF}$ ， $\mathit{BC}//\mathit{EF}$ ．求证： $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta DEF}$ ．

如图，将平行四边形纸片 $\mathit{ABCD}$沿一条直线折叠，使点 $A$与点 $C$重合，点 $D$落在点 $G$处，折痕为 $\mathit{EF}$．求证：

（1） $\angle \mathit{ECB}=\angle \mathit{FCG}$；

（2） $\mathit{\Delta EBC}\cong \mathit{\Delta FGC}$．

如图， $D$是 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{DE}//\mathit{BC}$， $\mathit{CE}//\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$与 $\mathit{DE}$相交于点 $F$．求证： $\mathit{\Delta ADF}\cong \mathit{\Delta CEF}$．

如图， $\mathit{AE}$和 $\mathit{BD}$相交于点 $C$， $\angle A=\angle E$， $\mathit{AC}=\mathit{EC}$．求证： $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta EDC}$．

如图， $B$ 、 $F$ 、 $C$ 、 $E$ 是直线 $l$ 上的四点， $\mathit{AB}//\mathit{DE}$ ， $\mathit{AB}=\mathit{DE}$ ， $\mathit{BF}=\mathit{CE}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta DEF}$ ；

（2）将 $\mathit{\Delta ABC}$ 沿直线 $l$ 翻折得到△ $A\text{'}\mathit{BC}$ ．

①用直尺和圆规在图中作出△ $A\text{'}\mathit{BC}$ （保留作图痕迹，不要求写作法）；

②连接 $A\text{'}D$ ，则直线 $A\text{'}D$ 与 $l$ 的位置关系是 　　．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是平行四边形， $\mathit{BE}//\mathit{DF}$ 且分别交对角线 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ， $F$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta CDF}$ ；

（2）当四边形 $\mathit{ABCD}$ 分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形 $\mathit{BEDF}$ 的形状．（无需说明理由）

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\angle \mathit{AOB}=60°$ ，对角线 $\mathit{AC}$ 所在的直线绕点 $O$ 顺时针旋转角 $\alpha (0°<\alpha <120°)$ ，所得的直线 $l$ 分别交 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ 于点 $E$ ， $F$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta AOE}\cong \mathit{\Delta COF}$ ；

（2）当旋转角 $\alpha$ 为多少度时，四边形 $\mathit{AFCE}$ 为菱形？试说明理由．

如图，已知点 $E$， $F$分别是平行四边形 $\mathit{ABCD}$对角线 $\mathit{BD}$所在直线上的两点，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{CF}$，请你添加一个条件，使得 $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta CDF}$，并证明．

尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法） $:$

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$，请根据“ $\mathit{SAS}$”基本事实作出 $\mathit{\Delta DEF}$，使 $\mathit{\Delta DEF}\cong \mathit{\Delta ABC}$．

如图，已知 $\mathit{OA}=\mathit{OC}$， $\mathit{OB}=\mathit{OD}$， $\angle \mathit{AOC}=\angle \mathit{BOD}$．

求证： $\mathit{\Delta AOB}\cong \mathit{\Delta COD}$．

如图， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $O$ ， $\mathit{OA}=\mathit{OD}$ ， $\angle \mathit{ABO}=\angle \mathit{DCO}$ ， $E$ 为 $\mathit{BC}$ 延长线上一点，过点 $E$ 作 $\mathit{EF}//\mathit{CD}$ ，交 $\mathit{BD}$ 的延长线于点 $F$ ．

（1）求证 $\mathit{\Delta AOB}\cong \mathit{\Delta DOC}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=2$ ， $\mathit{BC}=3$ ， $\mathit{CE}=1$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，我们将小正方形的顶点叫做格点，线段 $\mathit{AB}$的端点均在格点上．

（1）将线段 $\mathit{AB}$向右平移3个单位长度，得到线段 $A\text{'}B\text{'}$，画出平移后的线段并连接 $\mathit{AB}\text{'}$和 $A\text{'}B$，两线段相交于点 $O$；

（2）求证： $\mathit{\Delta AOB}\cong$△ $B\text{'}\mathit{OA}\text{'}$．

已知矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AD}$边上的一个动点，点 $F$， $G$， $H$分别是 $\mathit{BC}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{CE}$的中点．

（1）求证： $\mathit{\Delta BGF}\cong \mathit{\Delta FHC}$；

（2）设 $\mathit{AD}=a$，当四边形 $\mathit{EGFH}$是正方形时，求矩形 $\mathit{ABCD}$的面积．