初中数学三角形的面积试题

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=90°$， $D$是 $\mathit{AB}$的中点，过点 $D$作 $\mathit{BC}$的平行线交 $\mathit{AC}$于点 $E$，作 $\mathit{BC}$的垂线交 $\mathit{BC}$于点 $F$，若 $\mathit{AB}=\mathit{CE}$，且 $\mathit{\Delta DFE}$的面积为1，则 $\mathit{BC}$的长为 $($　　 $)$

A． $2\sqrt{5}$B．5C． $4\sqrt{5}$D．10

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$的中点与坐标原点重合，点 $E$是 $x$轴上一点，连接 $\mathit{AE}$．若 $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{OAE}$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$的图象经过 $\mathit{AE}$上的两点 $A$， $F$，且 $\mathit{AF}=\mathit{EF}$， $\mathit{\Delta ABE}$的面积为18，则 $k$的值为 $($　　 $)$

A．6B．12C．18D．24

如图，三角形纸片 $\mathit{ABC}$，点 $D$是 $\mathit{BC}$边上一点，连接 $\mathit{AD}$，把 $\mathit{\Delta ABD}$沿着 $\mathit{AD}$翻折，得到 $\mathit{\Delta AED}$， $\mathit{DE}$与 $\mathit{AC}$交于点 $G$，连接 $\mathit{BE}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$．若 $\mathit{DG}=\mathit{GE}$， $\mathit{AF}=3$， $\mathit{BF}=2$， $\mathit{\Delta ADG}$的面积为2，则点 $F$到 $\mathit{BC}$的距离为 $($　　 $)$

A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$B． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$C． $\frac{4\sqrt{5}}{5}$D． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

如图，在 $3\times 3$的网格中，每个小正方形的边长均为1，点 $A$， $B$， $C$都在格点上，若 $\mathit{BD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的高，则 $\mathit{BD}$的长为 $($　　 $)$

A． $\frac{10}{13}\sqrt{13}$B． $\frac{9}{13}\sqrt{13}$C． $\frac{8}{13}\sqrt{13}$D． $\frac{7}{13}\sqrt{13}$

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{CG}\perp \mathit{BA}$交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $G$．

特例感知：

（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 $F$，一条直角边与 $\mathit{AC}$重合，另一条直角边恰好经过点 $B$．通过观察、测量 $\mathit{BF}$与 $\mathit{CG}$的长度，得到 $\mathit{BF}=\mathit{CG}$．请给予证明．

猜想论证：

（2）当三角尺沿 $\mathit{AC}$方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与 $\mathit{AC}$边重合，另一条直角边交 $\mathit{BC}$于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BA}$垂足为 $E$．此时请你通过观察、测量 $\mathit{DE}$、 $\mathit{DF}$与 $\mathit{CG}$的长度，猜想并写出 $\mathit{DE}$、 $\mathit{DF}$与 $\mathit{CG}$之间存在的数量关系，并证明你的猜想．

联系拓展：

（3）当三角尺在图2的基础上沿 $\mathit{AC}$方向继续移动到图3所示的位置（点 $F$在线段 $\mathit{AC}$上，且点 $F$与点 $C$不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=4$，点 $E$在边 $\mathit{AD}$上，连接 $\mathit{CE}$，以 $\mathit{CE}$为边向右上方作正方形 $\mathit{CEFG}$，作 $\mathit{FH}\perp \mathit{AD}$，垂足为 $H$，连接 $\mathit{AF}$．

（1）求证： $\mathit{FH}=\mathit{ED}$；

（2）当 $\mathit{AE}$为何值时， $\mathit{\Delta AEF}$的面积最大？

如图，平面直角坐标系中，已知点 $B$的坐标为 $(6,4)$．

（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线 $\mathit{AC}$，它与 $x$轴和 $y$轴的正半轴分别交于点 $A$和点 $C$，且使 $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta AOC}$的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹． $)$

（2）问：（1）中这样的直线 $\mathit{AC}$是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线 $\mathit{AC}$，并写出与之对应的函数表达式．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=10$， $\mathit{AC}=2\sqrt{7}$， $\angle B=30°$，则 $\mathit{\Delta ABC}$的面积等于　　．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$，点 $E$， $F$分别在 $\mathit{CD}$， $\mathit{AD}$上， $\mathit{CE}=\mathit{DF}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{CF}$相交于点 $G$．若图中阴影部分的面积与正方形 $\mathit{ABCD}$的面积之比为 $2:3$，则 $\mathit{\Delta BCG}$的周长为　　．

如图，在 $6\times 6$的网格中，每个小正方形的边长为1，点 $A$在格点（小正方形的顶点）上．试在各网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=15$， $\mathit{AC}=20$，点 $D$在边 $\mathit{AC}$上， $\mathit{AD}=5$， $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$于点 $E$，连接 $\mathit{AE}$，则 $\mathit{\Delta ABE}$的面积等于　　．

如图，点 $A$， $B$在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$的图象上， $\mathit{AC}\perp x$轴， $\mathit{BD}\perp x$轴，垂足 $C$， $D$分别在 $x$轴的正、负半轴上， $\mathit{CD}=k$，已知 $\mathit{AB}=2\mathit{AC}$， $E$是 $\mathit{AB}$的中点，且 $\mathit{\Delta BCE}$的面积是 $\mathit{\Delta ADE}$的面积的2倍，则 $k$的值是　　．

下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：

（1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形．

（2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形．

（3）画一个面积为5的等腰直角三角形．

（4）画一个一边长为 $2\sqrt{2}$，面积为6的等腰三角形．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle C=90°$， $\angle B=60°$， $\mathit{AD}=1$， $\mathit{BC}=2$，则四边形 $\mathit{ABCD}$的面积是 $($　　 $)$

A． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$B．3C． $2\sqrt{3}$D．4

已知三角形的三边长分别为 $a$、 $b$、 $c$，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦 $(\mathit{Heron}$，约公元50年）给出求其面积的海伦公式 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中 $p=\frac{a+b+c}{2}$；我国南宋时期数学家秦九韶（约 $1202-1261)$曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式 $S=\frac{1}{2}\sqrt{a^2{b}^2-{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\right)}^2}$，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是 $($　　 $)$

A． $\frac{3\sqrt{15}}{8}$B． $\frac{3\sqrt{15}}{4}$C． $\frac{3\sqrt{15}}{2}$D． $\frac{\sqrt{15}}{2}$