初中数学分段函数解答题

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3\mathit{cm}$， $\mathit{AD}=\sqrt{3}\mathit{cm}$．动点 $P$从点 $A$出发沿折线 $\mathit{AB}-\mathit{BC}$向终点 $C$运动，在边 $\mathit{AB}$上以 $1\mathit{cm}/s$的速度运动；在边 $\mathit{BC}$上以 $\sqrt{3}\mathit{cm}/s$的速度运动，过点 $P$作线段 $\mathit{PQ}$与射线 $\mathit{DC}$相交于点 $Q$，且 $\angle \mathit{PQD}=60°$，连接 $\mathit{PD}$， $\mathit{BD}$．设点 $P$的运动时间为 $x\left(s\right)$， $\mathit{\Delta DPQ}$与 $\mathit{\Delta DBC}$重合部分图形的面积为 $y\left(c{m}^2\right)$．

（1）当点 $P$与点 $A$重合时，直接写出 $\mathit{DQ}$的长；

（2）当点 $P$在边 $\mathit{BC}$上运动时，直接写出 $\mathit{BP}$的长（用含 $x$的代数式表示）；

（3）求 $y$关于 $x$的函数解析式，并写出自变量 $x$的取值范围．

在"看图说故事"活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校 $12\mathit{km}$ ，陈列馆离学校 $20\mathit{km}$ ．李华从学校出发，匀速骑行 $0.6h$ 到达书店；在书店停留 $0.4h$ 后，匀速骑行 $0.5h$ 到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行 $0.5h$ 后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离 $y\mathit{km}$ 与离开学校的时间 $xh$ 之间的对应关系．

请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）填表：

离开学校的时间     $/h$	0.1	0.5	0.8	1	3
离学校的距离     $/\mathit{km}$	2	10		12

（Ⅱ）填空：

①书店到陈列馆的距离为 　　 $\mathit{km}$ ；

②李华在陈列馆参观学习的时间为 　　 $h$ ；

③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为 　　 $\mathit{km}/h$ ；

④当李华离学校的距离为 $4\mathit{km}$ 时，他离开学校的时间为 　　 $h$ ．

（Ⅲ）当 $0⩽x⩽1.5$ 时，请直接写出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式．

已知函数 $y=\left\{\begin{array}{c}\frac{3}{x},x⩽-1,\\ 3x,-1<x⩽1,\\ \frac{3}{x},x⩾1\cdot \end{array}\right.$

（1）画出函数图象；

列表：

$x$	$\dots$	$-3$								$\dots$
$y$	$\dots$									$.\dots$

描点，连线得到函数图象：

（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；

（3）设 $(x_1$， $y_1)$， $(x_2$， $y_2)$是函数图象上的点，若 $x_1+x_2=0$，证明： $y_1+y_2=0$．

某周日上午 $8:00$小宇从家出发，乘车1小时到达某活动中心参加实践活动． $11:00$时他在活动中心接到爸爸的电话，因急事要求他在 $12:00$前回到家，他即刻按照来活动中心时的路线，以5千米 $/$小时的平均速度快步返回．同时，爸爸从家沿同一路线开车接他，在距家20千米处接上了小宇，立即保持原来的车速原路返回．设小宇离家 $x$（小时）后，到达离家 $y$（千米）的地方，图中折线 $\mathit{OABCD}$表示 $y$与 $x$之间的函数关系．

（1）活动中心与小宇家相距　   　千米，小宇在活动中心活动时间为　 　小时，他从活动中心返家时，步行用了　    　小时；

（2）求线段 $\mathit{BC}$所表示的 $y$（千米）与 $x$（小时）之间的函数关系式（不必写出 $x$所表示的范围）；

（3）根据上述情况（不考虑其他因素），请判断小宇是否能在 $12:00$前回到家，并说明理由．

今年是“精准扶贫”攻坚关键年，某扶贫工作队为对口扶贫村引进建立了一村集体企业，并无偿提供一笔无息贷款作为启动资金，双方约定：①企业生产出的产品全部由扶贫工作队及时联系商家收购；②企业从生产销售的利润中，要保证按时发放工人每月最低工资32000元．已知该企业生产的产品成本为20元 $/$件，月生产量 $y$（千件）与出厂价 $x$（元 $\left)\right(25⩽x⩽50)$的函数关系可用图中的线段 $\mathit{AB}$和 $\mathit{BC}$表示，其中 $\mathit{AB}$的解析式为 $y=-\frac{1}{20}x+m(m$为常数）．

（1）求该企业月生产量 $y$（千件）与出厂价 $x$（元 $)$之间的函数关系式，并写出自变量 $x$的取值范围．

（2）当该企业生产出的产品出厂价定为多少元时，月利润 $W$（元 $)$最大？最大利润是多少？ $[$月利润 $=$（出厂价 $-$成本） $\times$月生产量 $-$工人月最低工资 $]$．

在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．

结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数中，当时，；当时，．

（1）求这个函数的表达式；

（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；

（3）已知函的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．

甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元．在乙批发店，一次购买数量不超过时，价格为7元；一次购买数量超过时，其中有的价格仍为7元，超过部分的价格为5元．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为．

（Ⅰ）根据题意填表：

一次购买数量	30	50	150
甲批发店花费元		300
乙批发店花费元		350

（Ⅱ）设在甲批发店花费元，在乙批发店花费元，分别求，关于的函数解析式；

（Ⅲ）根据题意填空：

①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为　　；

②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为，则他在甲、乙两个批发店中的　　批发店购买花费少；

③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的　　批发店购买数量多．

如图，在等腰直角三角形中，，，于点，点从点出发，沿方向以的速度运动到点停止，在运动过程中，过点作交于点，以线段为边作等腰直角三角形，且（点，位于异侧）．设点的运动时间为，与重叠部分的面积为

（1）当点落在上时，　　；

（2）当点落在上时，　　；

（3）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

如图，是与弦所围成的图形的外部的一定点，是上一动点，连接交弦于点．

小腾根据学习函数的经验，对线段，，的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）对于点在上的不同位置，画图、测量，得到了线段，，的长度的几组值，如下表：

	位置1	位置2	位置3	位置4	位置5	位置6	位置7	位置8
	3.44	3.30	3.07	2.70	2.25	2.25	2.64	2.83
	3.44	2.69	2.00	1.36	0.96	1.13	2.00	2.83
	0.00	0.78	1.54	2.30	3.01	4.00	5.11	6.00

在，，的长度这三个量中，确定　　的长度是自变量，　　的长度和　　的长度都是这个自变量的函数；

（2）在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当时，的长度约为　　．

已知 $y$ 是 $x$ 的函数，自变量 $x$ 的取值范围 $x>0$ ，下表是 $y$ 与 $x$ 的几组对应值：

$x$	$\dots$	1	2	3	5	7	9	$\dots$
$y$	$\dots$	1.98	3.95	2.63	1.58	1.13	0.88	$\dots$

小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的 $y$ 与 $x$ 之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

（2）根据画出的函数图象，写出：

① $x=4$ 对应的函数值 $y$ 约为 　 　；

②该函数的一条性质： 　　．

小丽一家利用元旦三天驾车到某景点旅游.小汽车出发前油箱有油36L，行驶若干h后，途中在加油站加油若干L.油箱中余油量Q（L）与行驶时间t（h）之间的关系如图所示。根据图象回答下列问题：

（1）小汽车行驶________h后加油, 中途加油__________L；
（2）求加油前油箱余油量Q与行驶时间t的函数关系式；
（3）如果加油站距景点200km，车速为80km/h，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由.