初中数学平面直角坐标系解答题

如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，．若不改变矩形的形状和大小，当矩形顶点在轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之上下移动．

（1）当时，求点的坐标；

（2）设的中点为，连接、，当四边形的面积为时，求的长；

（3）当点移动到某一位置时，点到点的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时的值．

在平面直角坐标系中，为原点，点，点在轴的正半轴上，．矩形的顶点，，分别在，，上，．

（Ⅰ）如图①，求点的坐标；

（Ⅱ）将矩形沿轴向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为．

①如图②，当矩形与重叠部分为五边形时，，分别与相交于点，，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；

②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．

将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点．是边上的一点（点不与点，重合），沿着折叠该纸片，得点的对应点．

（1）如图①，当点在第一象限，且满足时，求点的坐标；

（2）如图②，当为中点时，求的长；

（3）当时，求点的坐标（直接写出结果即可）．

在平面直角坐标系中， $O$ 为原点，点 $A(4,0)$ ，点 $B(0,3)$ ，把 $\mathit{\Delta ABO}$ 绕点 $B$ 逆时针旋转，得△ $A\text{'}\mathit{BO}\text{'}$ ，点 $A$ ， $O$ 旋转后的对应点为 $A\text{'}$ ， $O\text{'}$ ，记旋转角为 $\alpha$ ．

（Ⅰ）如图①，若 $\alpha =90°$ ，求 $\mathit{AA}\text{'}$ 的长；

（Ⅱ）如图②，若 $\alpha =120°$ ，求点 $O\text{'}$ 的坐标；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边 $\mathit{OA}$ 上 的一点 $P$ 旋转后的对应点为 $P\text{'}$ ，当 $O\text{'}P+\mathit{BP}\text{'}$ 取得最小值时，求点 $P\text{'}$ 的坐标（直接写出结果即可）

特例感知

（1）如图1，对于抛物线，，，下列结论正确的序号是　　；

①抛物线，，都经过点；

②抛物线，的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到；

③抛物线，，与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等．

形成概念

（2）把满足为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．

知识应用

在（2）中，如图2．

①“系列平移抛物线”的顶点依次为，，，，，用含的代数式表示顶点的坐标，并写出该顶点纵坐标与横坐标之间的关系式；

②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：，，，，，其横坐标分别为，，，，为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．

③在②中，直线分别交“系列平移抛物线”于点，，，，，连接，，判断，是否平行？并说明理由．

在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，直线与图象交于点，与轴交于点．

（1）求的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象在点，之间的部分与线段，，围成的区域（不含边界）为．

①当时，直接写出区域内的整点个数；

②若区域内恰有4个整点，结合函数图象，求的取值范围．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，点 $P$ 的坐标为 $(x_1$ ， $y_1)$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(x_2$ ， $y_2)$ ，且 $x_1\ne x_2$ ， $y_1\ne y_2$ ，若 $P$ ， $Q$ 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 $P$ ， $Q$ 的"相关矩形"，如图为点 $P$ ， $Q$ 的"相关矩形"示意图．

（1）已知点 $A$ 的坐标为 $(1,0)$ ，

①若点 $B$ 的坐标为 $(3,1)$ ，求点 $A$ ， $B$ 的"相关矩形"的面积；

②点 $C$ 在直线 $x=3$ 上，若点 $A$ ， $C$ 的"相关矩形"为正方形，求直线 $\mathit{AC}$ 的表达式；

（2） $\odot O$ 的半径为 $\sqrt{2}$ ，点 $M$ 的坐标为 $(m,3)$ ，若在 $\odot O$ 上存在一点 $N$ ，使得点 $M$ ， $N$ 的"相关矩形"为正方形，求 $m$ 的取值范围．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，过点 $A(-6,0)$ 的直线 $l_1$ 与直线 $l_2:y=2x$ 相交于点 $B(m,4)$ ．

（1）求直线 $l_1$ 的表达式；

（2）过动点 $P(n,0)$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与 $l_1$ ， $l_2$ 的交点分别为 $C$ ， $D$ ，当点 $C$ 位于点 $D$ 上方时，写出 $n$ 的取值范围．

在平面直角坐标系中，的半径为1，，为外两点，．

给出如下定义：平移线段，得到的弦，分别为点，的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．

（1）如图，平移线段得到的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是　　；在点，，，中，连接点与点　　的线段的长度等于线段到的“平移距离”；

（2）若点，都在直线上，记线段到的“平移距离”为，求的最小值；

（3）若点的坐标为，记线段到的“平移距离”为，直接写出的取值范围．

如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动。它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负。如果从A到B记为：A→B（+1，+3）；从C到D记为：C→D（+1，－2）。其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中

（1）A→C（   ，   ），C→（-2，   ）；
（2）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程；
（3）假如这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为
（＋2，＋2），（＋1，－1），（－2，＋3），请在图中标出P的位置．

（年江西省南昌市）如图，正方形ABCD于正方形A₁B₁C₁D₁关于某点中心对称，已知A，D₁，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．

（1）求对称中心的坐标；
（2）写出顶点B，C，B₁，C₁的坐标．