初中数学一元二次方程计算题

某市总预算 $a$亿元用三年时间建成一条轨道交通线．轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成．从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资．

2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍．随后两年，线路敷设投资每年都增加 $b$亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年年初开始逐年按同一百分数递减，依此规律，在2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工．经测算，这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到 $3:2$．

（1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？

（2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？

（3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数．

为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考察，劲松公司有 $A$， $B$两种型号的健身器材可供选择．

（1）劲松公司2015年每套 $A$型健身器材的售价为2.5万元，经过连续两年降价，2017年每套售价为1.6万元，求每套 $A$型健身器材年平均下降率 $n$；

（2）2017年市政府经过招标，决定年内采购并安装劲松公司 $A$， $B$两种型号的健身器材共80套，采购专项经费总计不超过112万元，采购合同规定：每套 $A$型健身器材售价为1.6万元，每套 $B$型健身器材售价为 $1.5(1-n)$万元．

① $A$型健身器材最多可购买多少套？

②安装完成后，若每套 $A$型和 $B$型健身器材一年的养护费分别是购买价的 $5\%$和 $15\%$，市政府计划支出10万元进行养护，问该计划支出能否满足一年的养护需要？

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2-6x+m+4=0$有两个实数根 $x_1$， $x_2$．

（1）求 $m$的取值范围；

（2）若 $x_1$， $x_2$满足 $3x_1=\left|x_2\right|+2$，求 $m$的值．

受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．

（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；

（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2-(m+1)x+\frac{1}{2}(m^2+1)=0$有实数根．

（1）求 $m$的值；

（2）先作 $y=x^2-(m+1)x+\frac{1}{2}(m^2+1)$的图象关于 $x$轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，当直线 $y=2x+n(n⩾m)$与变化后的图象有公共点时，求 $n^2-4n$的最大值和最小值．

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2-(m+1)x+\frac{1}{2}(m^2+1)=0$有实数根．

（1）求 $m$的值；

（2）先作 $y=x^2-(m+1)x+\frac{1}{2}(m^2+1)$的图象关于 $x$轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，当直线 $y=2x+n(n⩾m)$与变化后的图象有公共点时，求 $n^2-4n$的最大值和最小值．

某水果店在两周内，将标价为10元 $/$斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元 $/$斤，并且两次降价的百分率相同．

（1）求该种水果每次降价的百分率；

（2）从第一次降价的第1天算起，第 $x$天（ $x$为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元 $/$斤，设销售该水果第 $x$（天）的利润为 $y$（元），求 $y$与 $x(1⩽x<15)$之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？

时间 $x$（天）	$1⩽x<9$	$9⩽x<15$	$x⩾15$
售价（元 $/$斤）	第1次降价后的价格	第2次降价后的价格
销量（斤）	$80-3x$	$120-x$
储存和损耗费用（元）	$40+3x$	$3x^2-64x+400$

（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？

已知关于 $x$的方程 $x^2+(2k-1)x+k^2-1=0$有两个实数根 $x_1$， $x_2$．

（1）求实数 $k$的取值范围；

（2）若 $x_1$， $x_2$满足 $x_1^2+x_2^2=16+x_1{x}_2$，求实数 $k$的值．

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2+(k-5)x+1-k=0$，其中 $k$为常数．

（1）求证：无论 $k$为何值，方程总有两个不相等实数根；

（2）已知函数 $y=x^2+(k-5)x+1-k$的图象不经过第三象限，求 $k$的取值范围；

（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求 $k$的最大整数值．

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2-4x-m^2=0$

（1）求证：该方程有两个不等的实根；

（2）若该方程的两实根 $x_1$、 $x_2$满足 $x_1+2x_2=9$，求 $m$的值．

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2+(2k+1)x+k^2=0$①有两个不相等的实数根．

（1）求 $k$的取值范围；

（2）设方程①的两个实数根分别为 $x_1$， $x_2$，当 $k=1$时，求 $x_1^2+x_2^2$的值．

关于 $x$的方程 $x^2-(2k-1)x+k^2-2k+3=0$有两个不相等的实数根．

（1）求实数 $k$的取值范围；

（2）设方程的两个实数根分别为 $x_1$、 $x_2$，存不存在这样的实数 $k$，使得 $\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=\sqrt{5}$？若存在，求出这样的 $k$值；若不存在，说明理由．

如图，有一块矩形硬纸板，长 $30\mathit{cm}$，宽 $20\mathit{cm}$．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为 $200c{m}^2$？

解方程：

（1） $x^2-2x-5=0$；

（2） $\frac{1}{x-2}=\frac{4}{x+1}$．

（1）解方程： $2x^2-x-5=0$；

（2）解不等式组： $\left\{\begin{array}{c}3(x+1)>x-1\\ \frac{x+6}{2}⩾2x\end{array}\right.$．