初中数学二元一次方程组解答题

青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨 $\frac{1}{3}$．下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：

	淡季	旺季
未入住房间数	10	0
日总收入（元 $)$	24000	40000

（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？

（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？

上网流量、语音通话是手机通信消费的两大主体，目前，某通信公司推出消费优惠新招 $--$ “定制套餐”，消费者可根据实际情况自由定制每月上网流量与语音通话时间，并按照二者的阶梯资费标准缴纳通信费．下表是流量与语音的阶梯定价标准．

流量阶梯定价标准
使用范围	阶梯单价（元 $/\mathit{MB})$
$1-100\mathit{MB}$	$a$
$101-500\mathit{MB}$	0.07
$501\mathit{MB}-20\mathit{GB}$	$b$

语音阶梯定价标准
使用范围	阶梯资费（元 $/$分钟）
$1-500$分钟	0.15
$501-1000$分钟	0.12
$1001-2000$分钟	$m$

【小提示：阶梯定价收费计算方法，如600分钟语音通话费 = 0 . 15 × 500 + 0 . 12 × ( 600 − 500 ) = 87 元】

（1）甲定制了 $600\mathit{MB}$的月流量，花费48元；乙定制了 $2\mathit{GB}$的月流量，花费120.4元，求 $a$， $b$的值．（注 $:1\mathit{GB}=1024\mathit{MB})$

（2）甲的套餐费用为199元，其中含 $600\mathit{MB}$的月流量；丙的套餐费用为244.2元，其中包含 $1\mathit{GB}$的月流量，二人均定制了超过1000分钟的每月通话时间，并且丙的语音通话时间比甲多300分钟，求 $m$的值．

我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？请解答．

上网流量、语音通话是手机通信消费的两大主体，目前，某通信公司推出消费优惠新招 $--$ “定制套餐”，消费者可根据实际情况自由定制每月上网流量与语音通话时间，并按照二者的阶梯资费标准缴纳通信费．下表是流量与语音的阶梯定价标准．

流量阶梯定价标准
使用范围	阶梯单价（元 $/\mathit{MB})$
$1-100\mathit{MB}$	$a$
$101-500\mathit{MB}$	0.07
$501\mathit{MB}-20\mathit{GB}$	$b$

语音阶梯定价标准
使用范围	阶梯资费（元 $/$分钟）
$1-500$分钟	0.15
$501-1000$分钟	0.12
$1001-2000$分钟	$m$

【小提示：阶梯定价收费计算方法，如600分钟语音通话费 = 0 . 15 × 500 + 0 . 12 × ( 600 − 500 ) = 87 元】

（1）甲定制了 $600\mathit{MB}$的月流量，花费48元；乙定制了 $2\mathit{GB}$的月流量，花费120.4元，求 $a$， $b$的值．（注 $:1\mathit{GB}=1024\mathit{MB})$

（2）甲的套餐费用为199元，其中含 $600\mathit{MB}$的月流量；丙的套餐费用为244.2元，其中包含 $1\mathit{GB}$的月流量，二人均定制了超过1000分钟的每月通话时间，并且丙的语音通话时间比甲多300分钟，求 $m$的值．

某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．

（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？

（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？

某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．

（1）该网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？

（2）根据消费者需求，网店决定用不超过10000元购进甲、乙两种口罩共500袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的 $\frac{4}{5}$，已知甲种口罩每袋的进价为22.4元，乙种口罩每袋的进价为18元，请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？

阅读感悟：

有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：

已知实数 $x$ 、 $y$ 满足 $3x-y=5$ ①， $2x+3y=7$ ②，求 $x-4y$ 和 $7x+5y$ 的值．

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得 $x$ 、 $y$ 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由① $-$ ②可得 $x-4y=-2$ ，由① $+$ ② $\times 2$ 可得 $7x+5y=19$ ．这样的解题思想就是通常所说的"整体思想"．

解决问题：

（1）已知二元一次方程组 $\left\{\begin{array}{c}2x+y=7,\\ x+2y=8,\end{array}\right.$ 则 $x-y=$ 　 $-1$ 　， $x+y=$ 　　；

（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？

（3）对于实数 $x$ 、 $y$ ，定义新运算： $x*y=\mathit{ax}+\mathit{by}+c$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知 $3*5=15$ ， $4*7=28$ ，那么 $1*1=$ 　　．

某学校准备购买若干台 $A$型电脑和 $B$型打印机．如果购买1台 $A$型电脑，2台 $B$型打印机，一共需要花费5900元；如果购买2台 $A$型电脑，2台 $B$型打印机，一共需要花费9400元．

（1）求每台 $A$型电脑和每台 $B$型打印机的价格分别是多少元？

（2）如果学校购买 $A$型电脑和 $B$型打印机的预算费用不超过20000元，并且购买 $B$型打印机的台数要比购买 $A$型电脑的台数多1台，那么该学校至多能购买多少台 $B$型打印机？

某公司分别在 $A$ ， $B$ 两城生产同种产品，共100件． $A$ 城生产产品的总成本 $y$ （万元）与产品数量 $x$ （件 $)$ 之间具有函数关系 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$ ．当 $x=10$ 时， $y=400$ ；当 $x=20$ 时， $y=1000$ ． $B$ 城生产产品的每件成本为70万元．

（1）求 $a$ ， $b$ 的值；

（2）当 $A$ ， $B$ 两城生产这批产品的总成本的和最少时，求 $A$ ， $B$ 两城各生产多少件？

（3）从 $A$ 城把该产品运往 $C$ ， $D$ 两地的费用分别为 $m$ 万元 $/$ 件和3万元 $/$ 件；从 $B$ 城把该产品运往 $C$ ， $D$ 两地的费用分别为1万元 $/$ 件和2万元 $/$ 件． $C$ 地需要90件， $D$ 地需要10件，在（2）的条件下，直接写出 $A$ ， $B$ 两城总运费的和的最小值（用含有 $m$ 的式子表示）．

为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元 $/$ 吨，乙物资单价为2万元 $/$ 吨，采购两种物资共花费1380万元．

（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？

（2）现在计划安排 $A$ ， $B$ 两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆 $A$ 型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆 $B$ 型卡车．按此要求安排 $A$ ， $B$ 两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？

某花店准备购进甲、乙两种花卉，若购进甲种花卉20盆，乙种花卉50盆，需要720元；若购进甲种花卉40盆，乙种花卉30盆，需要880元．

（1）求购进甲、乙两种花卉，每盆各需多少元？

（2）该花店销售甲种花卉每盆可获利6元，销售乙种花卉每盆可获利1元，现该花店准备拿出800元全部用来购进这两种花卉，设购进甲种花卉 $x$盆，全部销售后获得的利润为 $W$元，求 $W$与 $x$之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，考虑到顾客需求，要求购进乙种花卉的数量不少于甲种花卉数量的6倍，且不超过甲种花卉数量的8倍，那么该花店共有几种购进方案？在所有的购进方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？

某运输公司有 $A$、 $B$两种货车，3辆 $A$货车与2辆 $B$货车一次可以运货90吨，5辆 $A$货车与4辆 $B$货车一次可以运货160吨．

（1）请问1辆 $A$货车和1辆 $B$货车一次可以分别运货多少吨？

（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排 $A$、 $B$两种货车将全部货物一次运完 $(A$、 $B$两种货车均满载），其中每辆 $A$货车一次运货花费500元，每辆 $B$货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．

我州某养殖场计划购买甲、乙两种鱼苗600条，甲种鱼苗每条16元，乙种鱼苗每条20元，相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率为 $80\%$， $90\%$

（1）若购买这两种鱼苗共用去11000元，则甲、乙两种鱼苗各购买多少条？

（2）若要使这批鱼苗的总成活率不低于 $85\%$，则乙种鱼苗至少购买多少条？

（3）在（2）的条件下，应如何选购鱼苗，使购买鱼苗的总费用最低？最低费用是多少？

解方程组： $\left\{\begin{array}{c}3x+\frac{1}{2}y=8,\\ 2x-\frac{1}{2}y=2·\end{array}\right.$

为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：

	篮球	排球
进价（元 $/$个）	80	50
售价（元 $/$个）	105	70

（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？

（2）设商店所获利润为 $y$（单位：元），购进篮球的个数为 $x$（单位：个），请写出 $y$与 $x$之间的函数关系式（不要求写出 $x$的取值范围）；

（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？