初中数学整式的混合运算解答题

（1）计算： ${(a+1)}^2+a(2-a)$．

（2）解不等式： $3x-5<2(2+3x)$．

计算：

（1） $|-8|\times 2^{-1}-\sqrt{16}+{(-1)}^{2020}$；

（2） $(a+2)(a-2)-a(a+1)$．

计算：

（1） ${(x-y)}^2+x(x+2y)$ ；

（2） $(1-\frac{a}{a+2})÷\frac{a^2-4}{a^2+4a+4}$ ．

（1）计算： $\sqrt{8}-4\cos 45°+{(-1)}^{2020}$．

（2）化简： ${(x+y)}^2-x(x+2y)$．

阅读以下材料：

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔 $(J$． $\mathit{Nplcr}$， $1550-1617$年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉 $(\mathit{Evlcr}$， $1707-1783$年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地，若 $a^x=N(a>0,a\ne 1)$，那么 $x$叫做以 $a$为底 $N$的对数，记作： $x={\log }_{a}N$．比如指数式 $2^4=16$可以转化为 $4={\log }_{2}16$，对数式 $2={\log }_{5}25$可以转化为 $5^2=25$．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： ${\log }_a(M·N)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N(a>0$， $a\ne 1$， $M>0$， $N>0)$；理由如下：

设 ${\log }_{a}M=m$， ${\log }_{a}N=n$，则 $M=a^m$， $N=a^n$

$\therefore M·N=a^m·a^n=a^{m+n}$，由对数的定义得 $m+n={\log }_a(M·N)$

又 $\because m+n={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$

$\therefore {\log }_a(M·N)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$

解决以下问题：

（1）将指数 $4^3=64$转化为对数式　　；

（2）证明 ${\log }_a\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N(a>0$， $a\ne 1$， $M>0$， $N>0)$

（3）拓展运用：计算 ${\log }_{3}2+{\log }_{3}6-{\log }_{3}4=$　　．

（1）计算： $(1+a)(1-a)+{(a+3)}^2$ ．

（2）解不等式组： $\left\{\begin{array}{c}2x+1<9\\ 3-x⩽0\end{array}\right.$ ．

（1）计算： ${\left(2020\right)}^0-\sqrt{4}+|-3|$；

（2）化简： $(a+2)(a-2)-a(a+1)$．

计算：

（1） $a(2a+3b)+{(a-b)}^2$ ；

（2） $\frac{x^2-9}{x^2+2x+1}÷(x+\frac{3-x^2}{x+1})$ ．

计算：

（1） ${(x+y)}^2+x(x-2y)$；

（2） $(1-\frac{m}{m+3})÷\frac{m^2-9}{m^2+6m+9}$．

（1）计算： $4\times (-3)+|-8|-\sqrt{9}+{\left(\sqrt{7}\right)}^0$ ．

（2）化简： ${(a-5)}^2+\frac{1}{2}a(2a+8)$ ．

计算：

（1） ${(2m+3n)}^2-(2m+n)(2m-n)$ ；

（2） $\frac{x-y}{x}÷(x+\frac{y^2-2\mathit{xy}}{x})$ ．

下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．

解： $x(x+2y)-{(x+1)}^2+2x$

$=x^2+2\mathit{xy}-x^2+2x+1+2x$           第一步

$=2\mathit{xy}+4x+1$                          第二步

（1）小颖的化简过程从第　 步开始出现错误；

（2）对此整式进行化简．

阅读以下材料：

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔 $(J$． $\mathit{Nplcr}$， $1550-1617$年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉 $(\mathit{Evlcr}$， $1707-1783$年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地，若 $a^x=N(a>0$且 $a\ne 1)$，那么 $x$叫做以 $a$为底 $N$的对数，记作 $x={\log }_{a}N$，比如指数式 $2^4=16$可以转化为对数式 $4={\log }_{2}16$，对数式 $2={\log }_{5}25$，可以转化为指数式 $5^2=25$．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

${\log }_a(M·N)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N(a>0$， $a\ne 1$， $M>0$， $N>0)$，理由如下：

设 ${\log }_{a}M=m$， ${\log }_{a}N=n$，则 $M=a^m$， $N=a^n$，

$\therefore M·N=a^m·a^n=a^{m+n}$，由对数的定义得 $m+n={\log }_a(M·N)$

又 $\because m+n={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$

$\therefore {\log }_a(M·N)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$

根据阅读材料，解决以下问题：

（1）将指数式 $3^4=81$转化为对数式　　；

（2）求证： ${\log }_a\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N(a>0$， $a\ne 1$， $M>0$， $N>0)$

（3）拓展运用：计算 ${\log }_{6}9+{\log }_{6}8-{\log }_{6}2=$　　．

（1）计算： $\sqrt{4}-|-2|+{\left(\sqrt{6}\right)}^0-(-1)$．

（2）化简： ${(x-1)}^2-x(x+7)$．

阅读理解题：

定义：如果一个数的平方等于 $-1$，记为 $i^2=-1$，这个数 $i$叫做虚数单位，把形如 $a+\mathit{bi}(a$， $b$为实数）的数叫做复数，其中 $a$叫这个复数的实部， $b$叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．

例如计算： $(2-i)+(5+3i)=(2+5)+(-1+3)i=7+2i$；

$(1+i)\times (2-i)=1\times 2-i+2\times i-i^2=2+(-1+2)i+1=3+i$；

根据以上信息，完成下列问题：

（1）填空： $i^3=$　 ， $i^4=$　　；

（2）计算： $(1+i)\times (3-4i)$；

（3）计算： $i+i^2+i^3+\dots +i^{2017}$．