阅读以下材料:
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔 ( J . Nplcr , 1550 − 1617 年),纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前,直到18世纪瑞士数学家欧拉 ( Evlcr , 1707 − 1783 年)才发现指数与对数之间的联系.
对数的定义:一般地,若 a x = N ( a > 0 , a ≠ 1 ) ,那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作: x = log a N .比如指数式 2 4 = 16 可以转化为 4 = log 2 16 ,对数式 2 = log 5 25 可以转化为 5 2 = 25 .
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质: log a ( M · N ) = log a M + log a N ( a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0 ) ;理由如下:
设 log a M = m , log a N = n ,则 M = a m , N = a n
∴ M · N = a m · a n = a m + n ,由对数的定义得 m + n = log a ( M · N )
又 ∵ m + n = log a M + log a N
∴ log a ( M · N ) = log a M + log a N
解决以下问题:
(1)将指数 4 3 = 64 转化为对数式 ;
(2)证明 log a M N = log a M − log a N ( a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0 )
(3)拓展运用:计算 log 3 2 + log 3 6 − log 3 4 = .
为进一步建设秀美、宜居的生态环境,某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄,已知甲、乙、丙三种树的价格之比为 2 : 2 : 3 ,丙种树每棵 300 元,现计划用 210000 元资金,购买这三种树共 1000 棵.
(1)求甲、乙两种树每棵各多少元?
(2)若购买甲种树的棵数是乙种树的 2 倍,恰好用完计划资金,则这三种树各能购买多少棵?
(3)若又增加了 10120 元的购树款,在购买总棵数不变的前提下,求丙种树最多可购买多少棵?
探究:(1)如图①若 AB / / CD .则 ∠ B + ∠ D = ∠ E .你能说明为什么吗?
(2)反之,若 ∠ B + ∠ D = ∠ E ,直线 AB 和 CD 有什么位置关系,请证明;
(3)若将点 E 移至图②所示位置,此时 ∠ B , ∠ D , ∠ E 之间有什么关系?请证明;
(4)若将点 E 移至图③所示位置,情况又如何?
(5)在图④中, AB / / CD , ∠ E + ∠ G 与 ∠ B + ∠ F + ∠ D 又有何关系?
(6)在图⑤中,若 AB / / CD ,又得到什么结论?
若实数 a , b , c 满足关系式 a - 199 + b ⋅ 199 - a - b = 3 a + 5 b - 2 - c + 2 b + 3 b - c ,试确定 c 的值.
如图,将 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 这 10 个数字分别填入图中的 10 个圆圈内,使任意连续相邻的 5 个圆圈内的数字之和均不大于某一个整数 M ,求 M 的最小值并完成相应的填图游戏.
购买 5 种数学用品 A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 的件数和用钱总数列成下表:
那么,购买每种数学用品各一件共需多少元?