初中数学试题

如图，直线 $a//b$，点 $B$在直线 $b$上，且 $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$， $\angle 1=55°$，那么 $\angle 2$的度数是 $($　　 $)$

A． $20°$B． $30°$C． $35°$D． $50°$

下列计算正确的是 $($　　 $)$

A． $x^2·x^3=x^5$B． $x^6+x^6=x^{12}$C． ${\left(x^2\right)}^3=x^5$D． $x^{-1}=x$

在：0， $-2$，1， $\frac{1}{2}$这四个数中，最小的数是 $($　　 $)$

A．0B． $-2$C．1D． $\frac{1}{2}$

在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．

（一）尝试探究

如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$， $\angle \mathit{BAD}=60°$， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ADC}=90°$，点 $E$、 $F$分别在线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$上， $\angle \mathit{EAF}=30°$，连接 $\mathit{EF}$．

（1）如图2，将 $\mathit{\Delta ABE}$绕点 $A$逆时针旋转 $60°$后得到△ $A\text{'}B\text{'}E\text{'}(A\text{'}B\text{'}$与 $\mathit{AD}$重合），请直接写出 $\angle E\text{'}\mathit{AF}=$　   　度，线段 $\mathit{BE}$、 $\mathit{EF}$、 $\mathit{FD}$之间的数量关系为　     　．

（2）如图3，当点 $E$、 $F$分别在线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$的延长线上时，其他条件不变，请探究线段 $\mathit{BE}$、 $\mathit{EF}$、 $\mathit{FD}$之间的数量关系，并说明理由．

（二）拓展延伸

如图4，在等边 $\mathit{\Delta ABC}$中， $E$、 $F$是边 $\mathit{BC}$上的两点， $\angle \mathit{EAF}=30°$， $\mathit{BE}=1$，将 $\mathit{\Delta ABE}$绕点 $A$逆时针旋转 $60°$得到△ $A\text{'}B\text{'}E\text{'}(A\text{'}B\text{'}$与 $\mathit{AC}$重合），连接 $\mathit{EE}\text{'}$， $\mathit{AF}$与 $\mathit{EE}\text{'}$交于点 $N$，过点 $A$作 $\mathit{AM}\perp \mathit{BC}$于点 $M$，连接 $\mathit{MN}$，求线段 $\mathit{MN}$的长度．

如图1， $▱\mathit{OABC}$的边 $\mathit{OC}$在 $x$轴的正半轴上， $\mathit{OC}=5$，反比例函数 $y=\frac{m}{x}(x>0)$的图象经过点 $A(1,4)$．

（1）求反比例函数的关系式和点 $B$的坐标；

（2）如图2，过 $\mathit{BC}$的中点 $D$作 $\mathit{DP}//x$轴交反比例函数图象于点 $P$，连接 $\mathit{AP}$、 $\mathit{OP}$．

①求 $\mathit{\Delta AOP}$的面积；

②在 $▱\mathit{OABC}$的边上是否存在点 $M$，使得 $\mathit{\Delta POM}$是以 $\mathit{PO}$为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

随着教育信息化的发展，学生的学习方式日益增多，教师为了指导学生有效利用网络进行学习，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图1、图2两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题：

（1）本次接受问卷调查的学生共有　     　人，在扇形统计图中“ $D$“选项所占的百分比为　      　；

（2）扇形统计图中，“ $B$”选项所对应扇形圆心角为　     　度；

（3）请补全条形统计图；

（4）若该校共有1200名学生，请您估计该校学生课外利用网络学习的时间在“ $A$”选项的有多少人？

学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共 $40\mathit{kg}$，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如下信息：

（1）请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？

（2）这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？

（1）如图1，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{CE}=\mathit{CF}$，求证： $\mathit{AE}=\mathit{AF}$．

（2）如图2， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{PA}$与 $\odot O$相切于点 $A$， $\mathit{OP}$与 $\odot O$相交于点 $C$，连接 $\mathit{CB}$， $\angle \mathit{OPA}=40°$，求 $\angle \mathit{ABC}$的度数．

（1）先化简再求值： $a(1-4a)+(2a+1)(2a-1)$，其中 $a=4$．

（2）解不等式组： $\left\{\begin{array}{c}2x+1⩽7,①\\ 3+2x⩾1+x,②\end{array}\right.$．

如图1，在矩形纸片 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=8\sqrt{3}$， $\mathit{AD}=10$，点 $E$是 $\mathit{CD}$中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点 $A$与点 $E$重合，如图2，折痕为 $\mathit{MN}$，连接 $\mathit{ME}$、 $\mathit{NE}$；第二次折叠纸片使点 $N$与点 $E$重合，如图3，点 $B$落到 $B\text{'}$处，折痕为 $\mathit{HG}$，连接 $\mathit{HE}$，则 $\tan \angle \mathit{EHG}=$　          　．

如图，半径为2的 $\odot O$在第一象限与直线 $y=x$交于点 $A$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$的图象过点 $A$，则 $k=$　      　．

若代数式 $\frac{6}{x+2}$与 $\frac{4}{x}$的值相等，则 $x=$　       　．

某学习小组在“世界读书日”这天统计了本组5名同学在上学期阅读课外书籍的册数，数据是18， $x$，15，16，13，若这组数据的平均数为16，则这组数据的中位数是　   　．

分解因式： $a^2-4b^2=$　                  　．

计算： $2^{-1}+\sqrt{{(-2)}^2}=$　        　．