如图,摄影爱好者在某公园A处,发现正前方B处有一立柱,测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°,已知摄影爱好者的身高约为米(将眼睛S距地面的距离SA按米处理).
(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB.
(2)立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN,且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转.在彩杆转动的任意时刻,摄影爱好者观察彩杆MN的视角∠MSN(设为θ)是否存在最大值?若存在,请求出∠MSN取最大值时cosθ的值;若不存在,请说明理由.
抛物线的方程为,过抛物线上一点()作斜率为的两条直线分别交抛物线于两点(三点互不相同),且满足(且).
(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程;
(2)设直线上一点,满足,证明线段的中点在轴上;
(3)当=1时,若点的坐标为,求为钝角时点的纵坐标的取值范围.
已知是等差数列,首项,前项和为.令,的前项和.数列是公比为的等比数列,前项和为,且,.
(1)求数列、的通项公式;
(2)证明:.
已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上,的中心和的顶点均为原点,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录如下:、、、.
(1)经判断点,在抛物线上,试求出的标准方程;
(2)求抛物线的焦点的坐标并求出椭圆的离心率;
(3)过的焦点直线与椭圆交不同两点且满足,试求出直线的方程.
在直角梯形中,,,,如图,把沿翻折,使得平面平面.
(1)求证:;
(2)若点为线段中点,求点到平面的距离;
(3)在线段上是否存在点,使得与平面所成角为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
已知.
(1)若存在单调递减区间,求实数的取值范围;
(2)若,求证:当时,恒成立;
(3)设,证明:.
设函数f(x)=a为常数且a∈(0,1).
(1)当a=时,求f;
(2)若x0满足f[f(x0)]=x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的二阶周期点.证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;
(3)对于(2)中的x1,x2,设A(x1,f[f(x1)]),B(x2,f[f(x2)]),C(a2,0),记△ABC的面积为S(a),求S(a)在区间[,]上的最大值和最小值.
已知函数f(x)=ln(x+1)-x2-x.
(1)若关于x的方程f(x)=-x+b在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围;
(2)证明:对任意的正整数n,不等式2+++…+ >ln(n+1)都成立.
设椭圆M:=1(a>)的右焦点为F1,直线l:x=与x轴交于点A,若=2 (其中O为坐标原点).
(1)求椭圆M的方程;
(2)设P是椭圆M上的任意一点,EF为圆N:x2+(y-2)2=1的任意一条直径(E,F为直径的两个端点),求·的最大值.
在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2-12x+32=0的圆心为Q,过点P(0,2)且斜率为k的直线l与圆Q相交于不同的两点A,B.
(1)求圆Q的面积;
(2)求k的取值范围;
(3)是否存在常数k,使得向量+与共线?如果存在,求k的值;如果不存在,请说明理由.
已知数列{an}满足a1=a(a>0,a∈N*),a1+a2+…+an-pan+1=0(p≠0,p≠-1,n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若对每一个正整数k,若将ak+1,ak+2,ak+3按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列,且公差为dk.①求p的值及对应的数列{dk}.
②记Sk为数列{dk}的前k项和,问是否存在a,使得Sk<30对任意正整数k恒成立?若存在,求出a的最大值;若不存在,请说明理由.
设函数,其中.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若不等式的解集为 ,求的值.
数列记
(1)求b1、b2、b3、b4的值;
(2)求数列的通项公式及数列的前n项和