高中数学解答题

给定椭圆C：＝1(a>b>0)，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴的一个端点到点F的距离为.
(1)求椭圆C和其“准圆”的方程；
(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求·的取值范围；
(3)在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点，试判断l₁，l₂是否垂直？并说明理由．

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＝1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，其中m>0，y₁>0，y₂<0.

(1)设动点P满足PF²－PB²＝4，求点P的轨迹；
(2)设x₁＝2，x₂＝，求点T的坐标；
(3)设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．

已知定点F(0，1)和直线l₁：y＝－1，过定点F与直线l₁相切的动圆圆心为点C.
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)过点F的直线l₂交轨迹于两点P、Q，交直线l₁于点R，求·的最小值．

已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，讨论的单调性.

已知函数，其中N*，aR，e是自然对数的底数．
(1)求函数的零点；
(2)若对任意N*，均有两个极值点，一个在区间(1，4)内，另一个在区间[1，4]外，求a的取值范围；
(3)已知k，mN*，k<m，且函数在R上是单调函数，探究函数的单调性．

已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．

(1)求椭圆C的方程；
(2)己知点P(2，3)，Q(2，-3)在椭圆上，点A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足APQ=BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

已知各项均不相等的等差数列的前四项和成等比.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若恒成立，求实数的最大值.

已知函数，当时，.
（1）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围；
（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（3）试证明：.

设数列{}满足：a₁=2，对一切正整数n，都有
(1)探讨数列{}是否为等比数列，并说明理由；
(2)设

已知椭圆的焦距为2，且过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左右焦点分别为，，过点的直线与椭圆C交于两点.
①当直线的倾斜角为时，求的长；
②求的内切圆的面积的最大值，并求出当的内切圆的面积取最大值时直线的方程.

已知在处取得极值，且在点处的切线斜率为.
⑴求的单调增区间；
⑵若关于的方程在区间上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.

如图，点为椭圆右焦点，圆与椭圆的一个公共点为，且直线与圆相切与点。

（1）求的值及椭圆的标准方程；
（2）设动点满足，其中是椭圆上的点，为原点，直线与的斜率之积为，求证：为定值。

已知函数，
（1）若有最值，求实数的取值范围；
（2）当时，若存在，使得曲线在与处的切线互相平行，求证。

一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m³），表面积为S（单位：m²）．

（1）求V关于θ的函数表达式；
（2）求的值，使体积V最大；
（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．

已知函数处取得极值2
（1）求函数的表达式；
（2）当满足什么条件时，函数在区间上单调递增？
（3）若为图象上任意一点，直线与的图象相切于点P，求直线的斜率的取值范围