高中数学解答题

已知抛物线C：，P为C上一点且纵坐标为2，Q，R是C上的两个动点，且．

（1）求过点P，且与C恰有一个公共点的直线的方程；
（2）求证：QR过定点．

已知椭圆过点离心率，
（1）求椭圆方程；
（2）若过点的直线与椭圆C交于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点，试求直线的方程．

斜率为2的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于两点,求线段的长．

已知抛物线C：，P为C上一点且纵坐标为2，Q，R是C上的两个动点，且．

（1）求过点P，且与C恰有一个公共点的直线的方程；
（2）求证：QR过定点．

已知椭圆过点离心率，
（1）求椭圆方程；
（2）若过点的直线与椭圆C交于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点，试求直线的方程．

如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，，且交于点．

求证：（1）平面；
（2）求二面角的余弦值．

已知双曲线的焦点为,且离心率为2；
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若经过点的直线交双曲线于两点，且为的中点，求直线的方程．

对定义在[0，1]上的函数f（x），如果同时满足以下三个条件：
①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
则称函数f（x）为理想函数．
（1）判断g（x）=2^x﹣1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并说明理由；
（2）若f（x）为理想函数，求f（x）的最小值和最大值；
（3）若f（x）为理想函数，假设存在x₀∈[0，1]满足f[f（x₀）]=x₀，求证：f（x₀）=x₀．

已知椭圆E的长轴长与焦距比为2：1，左焦点F（﹣2，0），一定点为P（﹣8，0）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过P的直线与椭圆交于P₁、P₂两点，设直线P₁F、P₂F的斜率分别为k₁、k₂，求证：k₁+k₂=0．
（3）求△P₁P₂F面积的最大值．

已知函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（x＞0）a∈R．
（1）若a=，求y=f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）=t有四个不同的解x₁，x₂，x₃，x₄，求实数a，t应满足的条件；
（3）在（2）条件下，若x₁，x₂，x₃，x₄成等比数列，求t用a表示．

某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如表：

月数	1	2	3	4	…
污染度	60	31	13	0	…

污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f（x）=20|x﹣4|（x≥1），，，其中x表示月数，f（x）、g（x）、h（x）分别表示污染度．
（1）问选用哪个函数模拟比较合理？并说明理由；
（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60？

在正项数列{a_n}中，a₁=1，点A_n（）在曲线y²﹣x²=1上，数列{b_n}中，点（b_n，T_n）在直线y=﹣x+1上，其中T_n是数列{b_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n，b_n；
（2）若c_n=a_n•b_n，数列{c_n}的前n项和S_n．

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．
（Ⅰ）求a和sinC的值；
（Ⅱ）求cos（2A+）的值．

已知函数f（x）=x²﹣（a+2）x+alnx（a为实常数）．
（Ⅰ）若a=﹣2，求曲线 y=f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在[1，e]上的单调性；
（Ⅲ）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．

设数列{a_n}的前n项和为Sn，且S_n=4a_n﹣p，其中p是不为零的常数．
（1）证明：数列{a_n}是等比数列；
（2）当p=3时，若数列{b_n}满足b_n+1=b_n+a_n（n∈N^*），b₁=2，求数列{b_n}的通项公式．