高中数学试题

如图，设，且.当时，定义平面坐标系为-仿射坐标系，在-仿射坐标系中,任意一点的斜坐标这样定义：分别为与轴、轴正向相同的单位向量，若，则记为，那么在以下的结论中，正确的有.（填上所有正确结论的序号）
①设、，若，则；
②设，则；
③设、，若，则；
④设、，若，则；
⑤设、，若与的夹角，则.

如图，椭圆经过点，其左、右顶点分别是、，左、右焦点分别是、，（异于、）是椭圆上的动点，连接交直线于、两点,若成等比数列.

（1）求此椭圆的离心率；
（2）求证:以线段为直径的圆过点.

已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值；
（2）若函数在处取得极小值，且，求实数的取值范围.

已知数列的前项和为满足.
（1）函数与函数互为反函数，令，求数列的前项和；
（2）已知数列满足，证明:对任意的整数，有.

在平面直角坐标系中,已知点和,圆是以为圆心,半径为的圆,点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径所在的直线交于点.
（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；
（2）已知，是曲线上的两点，若曲线上存在点，满足（为坐标原点），求实数的取值范围.

学校操场边有一条小沟,沟沿是两条长150米的平行线段,沟宽为2米,，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为，对称轴与地面垂直，沟深2米，沟中水深1米．
（1）求水面宽；
（2）如图1所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，求沟中的水有多少立方米？


（3）现在学校要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，沟深不变，两腰分别与抛物线相切（如图2），问改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？

已知函数在上是减函数，在上是增函数，函数在上有三个零点，且是其中一个零点．
（1）求的值；
（2）求的取值范围；
（3）设，且的解集为，求实数的取值范围．

已知椭圆的短半轴长为，动点在直线（为半焦距）上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；
（3）设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，
求证：线段的长为定值，并求出这个定值．

设数列的前项和为，且，其中是不为零的常数．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）当时，数列满足，，求数列的通项公式．

设函数．
（1）求的单调区间；
（2）当时，若方程在上有两个实数解，求实数的取值范围；
（3）证明：当时，．

如图，圆与直线相切于点，与正半轴交于点，与直线在第一象限的交点为.点为圆上任一点，且满足，动点的轨迹记为曲线．

（1）求圆的方程及曲线的轨迹方程；
（2）若直线和分别交曲线于点、和、，
求四边形的周长；
（3）已知曲线为椭圆，写出椭圆的对称轴、顶点坐标、范围和焦点坐标．

如图，圆与直线相切于点，与正半轴交于点，与直线在第一象限的交点为.点为圆上任一点，且满足，动点的轨迹记为曲线．

（1）求圆的方程及曲线的方程；
（2）若两条直线和分别交曲线于点、和、，求四边形面积的最大值，并求此时的的值．
（3）证明：曲线为椭圆，并求椭圆的焦点坐标．

已知数列中，，对任意的，、、成等比数列，公比为；、、成等差数列，公差为，且．
（1）写出数列的前四项；
（2）设，求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和．

是定义在上的奇函数，其图象如图所示，令,则下列关于函数的叙述正确的是

A．若,则函数的图象关于原点对称

B．若,则方程有大于2的实根

C．若,则方程有两个实根

D．若,则方程有两个实根

已知
（1）若，求的极大值点；
（2）若且存在单调递减区间，求的取值范围.