初中数学翻折变换（折叠问题）试题

如图，平行四边形纸片 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$的长分别是 $10\mathit{cm}$和 $7.5\mathit{cm}$，将其四个角向内对折后，点 $B$与点 $C$重合于点 $C^{\text{'}}$，点 $A$与点 $D$重合于点 $A\text{'}$．四条折痕围成一个“信封四边形” $\mathit{EHFG}$，其顶点分别在平行四边形 $\mathit{ABCD}$的四条边上，则 $\mathit{EF}=$　　 $\mathit{cm}$．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=6$， $E$为 $\mathit{AB}$的中点，将 $\mathit{\Delta ADE}$沿 $\mathit{DE}$翻折得到 $\mathit{\Delta FDE}$，延长 $\mathit{EF}$交 $\mathit{BC}$于 $G$， $\mathit{FH}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $H$，连接 $\mathit{BF}$、 $\mathit{DG}$．以下结论：① $\mathit{BF}//\mathit{ED}$；② $\mathit{\Delta DFG}\cong \mathit{\Delta DCG}$；③ $\mathit{\Delta FHB}\backsim \mathit{\Delta EAD}$；④ $\tan \angle \mathit{GEB}=\frac{4}{3}$；⑤ $S_{\mathit{\Delta BFG}}=2.6$；其中正确的个数是 $($　　 $)$

A．2B．3C．4D．5

如图，将矩形 $\mathit{ABCD}$折叠，折痕为 $\mathit{EF}$， $\mathit{BC}$的对应边 $B^{\text{'}}C\text{'}$与 $\mathit{CD}$交于点 $M$，若 $\angle B\text{'}\mathit{MD}=50°$，则 $\angle \mathit{BEF}$的度数为　　．

如图，矩形纸片 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=3$，点 $P$在 $\mathit{BC}$边上，将 $\mathit{\Delta CDP}$沿 $\mathit{DP}$折叠，点 $C$落在点 $E$处， $\mathit{PE}$、 $\mathit{DE}$分别交 $\mathit{AB}$于点 $O$、 $F$，且 $\mathit{OP}=\mathit{OF}$，则 $\cos \angle \mathit{ADF}$的值为 $($　　 $)$

A． $\frac{11}{13}$B． $\frac{13}{15}$C． $\frac{15}{17}$D． $\frac{17}{19}$

如图，将 $▱\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{EF}$对折，使点 $A$落在点 $C$处，若 $\angle A=60°$， $\mathit{AD}=4$， $\mathit{AB}=6$，则 $\mathit{AE}$的长为　      　．

将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则 $\angle \mathit{ABC}=($　　 $)$

A． $73°$B． $56°$C． $68°$D． $146°$

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中，将 $\mathit{\Delta ADC}$ 沿 $\mathit{AC}$ 折叠后，点 $D$ 恰好落在 $\mathit{DC}$ 的延长线上的点 $E$ 处．若 $\angle B=60°$ ， $\mathit{AB}=3$ ，则 $\mathit{\Delta ADE}$ 的周长为 $($ 　　 $)$

A．

12

B．

15

C．

18

D．

21

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{AD}=5$，点 $E$在 $\mathit{DC}$上，将矩形 $\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{AE}$折叠，点 $D$恰好落在 $\mathit{BC}$边上的点 $F$处，那么 $\cos \angle \mathit{EFC}$的值是　         　．

如图， $\mathit{AD}$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 的中线， $\angle \mathit{ADC}=45°$ ，把 $\mathit{\Delta ADC}$ 沿着直线 $\mathit{AD}$ 对折，点 $C$ 落在点 $E$ 的位置．如果 $\mathit{BC}=6$ ，那么线段 $\mathit{BE}$ 的长度为 $($ 　　 $)$

A．

6

B．

$6\sqrt{2}$

C．

$2\sqrt{3}$

D．

$3\sqrt{2}$

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}=10$ ， $\mathit{CD}=6$ ， $E$ 是 $\mathit{CD}$ 边上一点，沿 $\mathit{AE}$ 折叠 $\mathit{\Delta ADE}$ ，使点 $D$ 恰好落在 $\mathit{BC}$ 边上的 $F$ 处， $M$ 是 $\mathit{AF}$ 的中点，连接 $\mathit{BM}$ ，则 $\sin \angle \mathit{ABM}=$ 　         　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BC}=10$，将矩形 $\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{BE}$折叠，点 $A$落在 $A^{\text{'}}$处，若 $E{A}^{\text{'}}$的延长线恰好过点 $C$，则 $\sin \angle \mathit{ABE}$的值为　　．

如图，三角形纸片 $\mathit{ABC}$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=90°$，点 $E$为 $\mathit{AB}$中点．沿过点 $E$的直线折叠，使点 $B$与点 $A$重合，折痕 $\mathit{EF}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$．已知 $\mathit{EF}=\frac{3}{2}$，则 $\mathit{BC}$的长是 $($　　 $)$

A． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$B． $3\sqrt{2}$C．3D． $3\sqrt{3}$

如图，将一张三角形纸片 $\mathit{ABC}$的一角折叠，使点 $A$落在 $\mathit{\Delta ABC}$外的 $A^{\text{'}}$处，折痕为 $\mathit{DE}$．如果 $\angle A=\alpha$， $\angle \mathit{CEA}\text{'}=\beta$， $\angle \mathit{BD}{A}^{\text{'}}=\gamma$，那么下列式子中正确的是 $($　　 $)$

A． $\gamma =2\alpha +\beta$B． $\gamma =\alpha +2\beta$C． $\gamma =\alpha +\beta$D． $\gamma =180°-\alpha -\beta$

如图1，一个扇形纸片的圆心角为 $90°$，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点 $A$与点 $O$恰好重合，折痕为 $\mathit{CD}$，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为 $($　　 $)$

A． $6\pi -\frac{9}{2}\sqrt{3}$B． $6\pi -9\sqrt{3}$C． $12\pi -\frac{9}{2}\sqrt{3}$D． $\frac{9\pi }{4}$

再读教材：

宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（约为 $0.618)$的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示： $\mathit{MN}=2)$

第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．

第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．

第三步，折出内侧矩形的对角线 $\mathit{AB}$，并把 $\mathit{AB}$折到图③中所示的 $\mathit{AD}$处．

第四步，展平纸片，按照所得的点 $D$折出 $\mathit{DE}$，使 $\mathit{DE}\perp \mathit{ND}$，则图④中就会出现黄金矩形．

问题解决：

（1）图③中 $\mathit{AB}=$　　（保留根号）；

（2）如图③，判断四边形 $\mathit{BADQ}$的形状，并说明理由；

（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．

实际操作

（4）结合图④，请在矩形 $\mathit{BCDE}$中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽．