初中数学扇形面积的计算试题

如图，直线 $\mathit{AB}$经过 $\odot O$上的点 $C$，直线 $\mathit{BO}$与 $\odot O$交于点 $F$和点 $D$， $\mathit{OA}$与 $\odot O$交于点 $E$，与 $\mathit{DC}$交于点 $G$， $\mathit{OA}=\mathit{OB}$， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$．

（1）求证： $\mathit{AB}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{FC}//\mathit{OA}$， $\mathit{CD}=6$，求图中阴影部分面积．

等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．

（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为 　　，其内切圆的半径长为 　　；

（2）①如图1， $P$是边长为 $a$的正 $\mathit{\Delta ABC}$内任意一点，点 $O$为 $\mathit{\Delta ABC}$的中心，设点 $P$到 $\mathit{\Delta ABC}$各边距离分别为 $h_1$， $h_2$， $h_3$，连接 $\mathit{AP}$， $\mathit{BP}$， $\mathit{CP}$，由等面积法，易知 $\frac{1}{2}a(h_1+h_2+h_3)=S_{\mathit{\Delta ABC}}=3S_{\mathit{\Delta OAB}}$，可得 $h_1+h_2+h_3=$　　；（结果用含 $a$的式子表示）

②如图2， $P$是边长为 $a$的正五边形 $\mathit{ABCDE}$内任意一点，设点 $P$到五边形 $\mathit{ABCDE}$各边距离分别为 $h_1$， $h_2$， $h_3$， $h_4$， $h_5$，参照①的探索过程，试用含 $a$的式子表示 $h_1+h_2+h_3+h_4+h_5$的值．（参考数据： $\tan 36°\approx \frac{8}{11}$， $\tan 54°\approx \frac{11}{8})$

（3）①如图3，已知 $\odot O$的半径为2，点 $A$为 $\odot O$外一点， $\mathit{OA}=4$， $\mathit{AB}$切 $\odot O$于点 $B$，弦 $\mathit{BC}//\mathit{OA}$，连接 $\mathit{AC}$，则图中阴影部分的面积为 　　；（结果保留 $\pi )$

②如图4，现有六边形花坛 $\mathit{ABCDEF}$，由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛形状改造成五边形 $\mathit{ABCDG}$，其中点 $G$在 $\mathit{AF}$的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点 $G$的位置，并说明理由.

如图，在边长为4的正方形 $\mathit{ABCD}$中，以 $\mathit{AB}$为直径的半圆交对角线 $\mathit{AC}$于点 $E$，以 $C$为圆心、 $\mathit{BC}$长为半径画弧交 $\mathit{AC}$于点 $F$，则图中阴影部分的面积是 　　．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为2，分别以 $B$， $C$为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点 $P$，那么图中阴影部分的面积为 　　．

如图， $\mathit{PA}$、 $\mathit{PB}$是 $\odot O$的切线， $A$、 $B$是切点， $\mathit{AC}$是 $\odot O$的直径，连接 $\mathit{OP}$，交 $\odot O$于点 $D$，交 $\mathit{AB}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{BC}//\mathit{OP}$；

（2）若 $E$恰好是 $\mathit{OD}$的中点，且四边形 $\mathit{OAPB}$的面积是 $16\sqrt{3}$，求阴影部分的面积；

（3）若 $\sin \angle \mathit{BAC}=\frac{1}{3}$，且 $\mathit{AD}=2\sqrt{3}$，求切线 $\mathit{PA}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\odot O$与 $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$分别相切于点 $E$， $F$， $\mathit{BO}$平分 $\angle \mathit{ABC}$，连接 $\mathit{OA}$．

（1）求证： $\mathit{AB}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BE}=\mathit{AC}=3$， $\odot O$的半径是1，求图中阴影部分的面积．

如图，作 $\odot O$的任意一条直径 $\mathit{FC}$，分别以 $F$、 $C$为圆心，以 $\mathit{FO}$的长为半径作弧，与 $\odot O$相交于点 $E$、 $A$和 $D$、 $B$，顺次连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$、 $\mathit{DE}$、 $\mathit{EF}$、 $\mathit{FA}$，得到六边形 $\mathit{ABCDEF}$，则 $\odot O$的面积与阴影区域的面积的比值为 　　．

如图，等腰 $\mathit{\Delta AOB}$ 中，顶角 $\angle \mathit{AOB}=40°$ ，用尺规按①到④的步骤操作：

①以 $O$ 为圆心， $\mathit{OA}$ 为半径画圆；

②在 $\odot O$ 上任取一点 $P$ （不与点 $A$ ， $B$ 重合），连接 $\mathit{AP}$ ；

③作 $\mathit{AB}$ 的垂直平分线与 $\odot O$ 交于 $M$ ， $N$ ；

④作 $\mathit{AP}$ 的垂直平分线与 $\odot O$ 交于 $E$ ， $F$ ．

结论Ⅰ：顺次连接 $M$ ， $E$ ， $N$ ， $F$ 四点必能得到矩形；

结论Ⅱ： $\odot O$ 上只有唯一的点 $P$ ，使得 $S_{\mathit{扇形}\mathit{FOM}}=S_{\mathit{扇形}\mathit{AOB}}$ ．

对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是 $($ 　　 $)$

A．

Ⅰ和Ⅱ都对

B．

Ⅰ和Ⅱ都不对

C．

Ⅰ不对Ⅱ对

D．

Ⅰ对Ⅱ不对

如图，在 $\odot O$中， $\mathit{AC}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的弦，点 $E$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$的中点，过点 $E$作 $\mathit{AB}$的垂线，交 $\mathit{AB}$于点 $M$，交 $\odot O$于点 $N$，分别连接 $\mathit{EB}$， $\mathit{CN}$．

（1） $\mathit{EM}$与 $\mathit{BE}$的数量关系是 　　；

（2）求证： $\stackrel{̂}{\mathit{EB}}=\stackrel{̂}{\mathit{CN}}$；

（3）若 $\mathit{AM}=\sqrt{3}$， $\mathit{MB}=1$，求阴影部分图形的面积．

如图所示，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应的刻度分别为1，3，5，将线段 $\mathit{CA}$ 绕点 $C$ 按顺时针方向旋转，当点 $A$ 首次落在矩形 $\mathit{BCDE}$ 的边 $\mathit{BE}$ 上时，记为点 $A\text{'}$ ，则此时线段 $\mathit{CA}$ 扫过的图形的面积为 $($ 　　 $)$

A．

$4\sqrt{3}$

B．

6

C．

$\frac{4}{3}\pi$

D．

$\frac{8}{3}\pi$

如图，在边长为2的等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $D$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的中点，以点 $A$ 为圆心， $\mathit{AD}$ 为半径作圆与 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 分别交于 $E$ ， $F$ 两点，则图中阴影部分的面积为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{\pi }{6}$

B．

$\frac{\pi }{3}$

C．

$\frac{\pi }{2}$

D．

$\frac{2\pi }{3}$

如图，等腰直角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle A=90°$， $\mathit{BC}=4$．分别以点 $B$、点 $C$为圆心，线段 $\mathit{BC}$长的一半为半径作圆弧，交 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AC}$于点 $D$、 $E$、 $F$，则图中阴影部分的面积为 　　．

如图，从一块直径为 $4\mathit{dm}$的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 $90°$的扇形，则此扇形的面积为 　　 $d{m}^2$．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}，\mathit{BD}$交于点O， $\angle \mathit{ABC}＝120°$， $\mathit{AB}＝2\sqrt{3}$，以点O为圆心， $\mathit{OB}$长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为　　．（结果保留π）

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径，射线 $\mathit{AD}$交 $\odot O$于点 $F$，点 $C$为劣弧 $\stackrel{̂}{\mathit{BF}}$的中点，过点 $C$作 $\mathit{CE}\perp \mathit{AD}$，垂足为 $E$，连接 $\mathit{AC}$．

（1）求证： $\mathit{CE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle \mathit{BAC}=30°$， $\mathit{AB}=4$，求阴影部分的面积．