初中数学正多边形和圆试题

如图， $\odot O$是正五边形 $\mathit{ABCDE}$的外接圆，点 $P$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AE}}$的一点，则 $\angle \mathit{CPD}$的度数是 $($　　 $)$

A． $30°$B． $36°$C． $45°$D． $72°$

已知圆内接正三角形的面积为 $\sqrt{3}$，则该圆的内接正六边形的边心距是 $($　　 $)$

A．2B．1C． $\sqrt{3}$D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

阅读下列材料：

已知：如图1，等边△ $A_1{A}_2{A}_3$内接于 $\odot O$，点 $P$是 $\stackrel{̂}{A_1{A}_2}$上的任意一点，连接 $P{A}_1$， $P{A}_2$， $P{A}_3$，可证： $P{A}_1+P{A}_2=P{A}_3$，从而得到： $\frac{P{A}_1+P{A}_2}{P{A}_1+P{A}_2+P{A}_3}=\frac{1}{2}$是定值．

（1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整；

证明：如图1，作 $\angle P{A}_{1}M=60°$， $A_{1}M$交 $A_{2}P$的延长线于点 $M$．

$\because$△ $A_1{A}_2{A}_3$是等边三角形，

$\therefore \angle A_3{A}_1{A}_2=60°$，

$\therefore \angle A_3{A}_{1}P=\angle A_2{A}_{1}M$

又 $A_3{A}_1=A_2{A}_1$， $\angle A_1{A}_{3}P=\angle A_1{A}_{2}P$，

$\therefore$△ $A_1{A}_{3}P\cong$△ $A_1{A}_{2}M$

$\therefore P{A}_3=M{A}_2=P{A}_2+\mathit{PM}=P{A}_2+P{A}_1$．

$\therefore \frac{P{A}_1+P{A}_2}{P{A}_1+P{A}_2+P{A}_3}=\frac{1}{2}$，是定值．

（2）延伸：如图2，把（1）中条件“等边△ $A_1{A}_2{A}_3$”改为“正方形 $A_1{A}_2{A}_3{A}_4$”，其余条件不变，请问： $\frac{P{A}_1+P{A}_2}{P{A}_1+P{A}_2+P{A}_3+P{A}_4}$还是定值吗？为什么？

（3）拓展：如图3，把（1）中条件“等边△ $A_1{A}_2{A}_3$”改为“正五边形 $A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5$”，其余条件不变，则 $\frac{P{A}_1+P{A}_2}{P{A}_1+P{A}_2+P{A}_3+P{A}_4+P{A}_5}=$　　（只写出结果）．

如图， $\odot O$的内接正五边形 $\mathit{ABCDE}$的对角线 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BE}$相交于点 $G$， $\mathit{AE}=2$，则 $\mathit{EG}$的长是　　．

如图， $P$、 $Q$分别是 $\odot O$的内接正五边形的边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$上的点， $\mathit{BP}=\mathit{CQ}$，则 $\angle \mathit{POQ}=$　　．

如图，等边三角形 $\mathit{ABC}$和正方形 $\mathit{ADEF}$都内接于 $\odot O$，则 $\mathit{AD}:\mathit{AB}=($　　 $)$

A． $2\sqrt{2}:\sqrt{3}$B． $\sqrt{2}:\sqrt{3}$C． $\sqrt{3}:\sqrt{2}$D． $\sqrt{3}:2\sqrt{2}$

在三角形纸片 $\mathit{ABC}$（如图1）中， $\angle \mathit{BAC}=78°$， $\mathit{AC}=10$．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）．

（1） $\angle \mathit{ABC}=$　     　 $°$；

（2）求正五边形 $\mathit{GHMNC}$的边 $\mathit{GC}$的长．

参考值： $\sin 78°\approx 0.98$， $\cos 78°\approx 0.21$， $\tan 78°\approx 4.7$．

如图， $\mathit{AC}$是 $\odot O$的内接正六边形的一边，点 $B$在 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$上，且 $\mathit{BC}$是 $\odot O$的内接正十边形的一边，若 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的内接正 $n$边形的一边，则 $n=$　       　．

如图， $A$、 $B$、 $C$、 $D$为一个外角为 $40°$的正多边形的顶点．若 $O$为正多边形的中心，则 $\angle \mathit{OAD}=$　        　．

如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是 $($　　 $)$

A． $6\sqrt{3}-\pi$B． $6\sqrt{3}-2\pi$C． $6\sqrt{3}+\pi$D． $6\sqrt{3}+2\pi$

半径为 $R$的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为 $a$， $b$， $c$，则 $a$， $b$， $c$的大小关系是 $($　　 $)$

A． $a<b<c$B． $b<a<c$C． $a<c<b$D． $c<b<a$

以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是 $($　　 $)$

A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$C． $\sqrt{2}$D． $\sqrt{3}$

如图， $\mathit{\Delta ABC}$是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是　　（结果用含 $\pi$的式子表示）．

已知： $\odot O$是正方形 $\mathit{ABCD}$的外接圆，点 $E$在 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$上，连接 $\mathit{BE}$、 $\mathit{DE}$，点 $F$在 $\stackrel{̂}{\mathit{AD}}$上连接 $\mathit{BF}$、 $\mathit{DF}$， $\mathit{BF}$与 $\mathit{DE}$、 $\mathit{DA}$分别交于点 $G$、点 $H$，且 $\mathit{DA}$平分 $\angle \mathit{EDF}$．

（1）如图1，求证： $\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{DHG}$；

（2）如图2，在线段 $\mathit{AH}$上取一点 $N$（点 $N$不与点 $A$、点 $H$重合），连接 $\mathit{BN}$交 $\mathit{DE}$于点 $L$，过点 $H$作 $\mathit{HK}//\mathit{BN}$交 $\mathit{DE}$于点 $K$，过点 $E$作 $\mathit{EP}\perp \mathit{BN}$，垂足为点 $P$，当 $\mathit{BP}=\mathit{HF}$时，求证： $\mathit{BE}=\mathit{HK}$；

（3）如图3，在（2）的条件下，当 $3\mathit{HF}=2\mathit{DF}$时，延长 $\mathit{EP}$交 $\odot O$于点 $R$，连接 $\mathit{BR}$，若 $\mathit{\Delta BER}$的面积与 $\mathit{\Delta DHK}$的面积的差为 $\frac{7}{4}$，求线段 $\mathit{BR}$的长．

如图，正六边形 $\mathit{ABCDEF}$内接于 $\odot O$， $\mathit{BE}$是 $\odot O$的直径，连接 $\mathit{BF}$，延长 $\mathit{BA}$，过 $F$作 $\mathit{FG}\perp \mathit{BA}$，垂足为 $G$．

（1）求证： $\mathit{FG}$是 $\odot O$的切线；

（2）已知 $\mathit{FG}=2\sqrt{3}$，求图中阴影部分的面积．