初中数学圆试题

如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， $\mathit{\Delta ABC}$ 的顶点 $A$ ， $C$ 均落在格点上，点 $B$ 在网格线上．

（Ⅰ）线段 $\mathit{AC}$ 的长等于 　　；

（Ⅱ）以 $\mathit{AB}$ 为直径的半圆的圆心为 $O$ ，在线段 $\mathit{AB}$ 上有一点 $P$ ，满足 $\mathit{AP}=\mathit{AC}$ ．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 $P$ ，并简要说明点 $P$ 的位置是如何找到的（不要求证明） 　　．

如图，点 $D$ 在以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 上，过 $D$ 作 $\odot O$ 的切线交 $\mathit{AB}$ 延长线于点 $C$ ， $\mathit{AE}\perp \mathit{CD}$ 于点 $E$ ，交 $\odot O$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{FD}$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{DAC}$ ；

（2）求证： $\mathit{DF}\cdot \mathit{AC}=\mathit{AD}\cdot \mathit{DC}$ ；

（3）若 $\sin \angle C=\frac{1}{4}$ ， $\mathit{AD}=4\sqrt{10}$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图，直线 $y=-2x+2$ 与坐标轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $P$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上的一个动点，过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交直线 $y=-x+3$ 于点 $Q$ ， $\mathit{\Delta OPQ}$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $45°$ ，边 $\mathit{PQ}$ 扫过区域（阴影部分）面积的最大值是 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{2}{3}\pi$

B．

$\frac{1}{2}\pi$

C．

$\frac{11}{16}\pi$

D．

$\frac{21}{32}\pi$

如图， $\mathit{AB}$ 为 $\odot O$ 的直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$ 于点 $F$ ， $\mathit{OE}\perp \mathit{AC}$ 于点 $E$ ，若 $\mathit{OE}=3$ ， $\mathit{OB}=5$ ，则 $\mathit{CD}$ 的长度是 $($ 　　 $)$

A．

9.6

B．

$4\sqrt{5}$

C．

$5\sqrt{3}$

D．

10

如图，圆 $O$ 中两条互相垂直的弦 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{CD}$ 交于点 $E$ ．

（1） $M$ 是 $\mathit{CD}$ 的中点， $\mathit{OM}=3$ ， $\mathit{CD}=12$ ，求圆 $O$ 的半径长；

（2）点 $F$ 在 $\mathit{CD}$ 上，且 $\mathit{CE}=\mathit{EF}$ ，求证： $\mathit{AF}\perp \mathit{BD}$ ．

如图，圆 $O$ 的半径为1， $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于圆 $O$ ．若 $\angle A=60°$ ， $\angle B=75°$ ，则 $\mathit{AB}=$ 　　．

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ，分别过点 $B$ ， $C$ 作 $\angle \mathit{BAC}$ 平分线的垂线，垂足分别为点 $D$ ， $E$ ， $\mathit{BC}$ 的中点是 $M$ ，连接 $\mathit{CD}$ ， $\mathit{MD}$ ， $\mathit{ME}$ ．则下列结论错误的是 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{CD}=2\mathit{ME}$

B．

$\mathit{ME}//\mathit{AB}$

C．

$\mathit{BD}=\mathit{CD}$

D．

$\mathit{ME}=\mathit{MD}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{BC}$于点 $D$， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $E$，交 $\mathit{AC}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=6$， $\tan E=\frac{3}{4}$，求 $\mathit{AF}$的长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2\mathit{cm}$， $\mathit{AD}=\sqrt{3}\mathit{cm}$以点 $B$为圆心， $\mathit{AB}$长为半径画弧，交 $\mathit{CD}$于点 $E$，则图中阴影部分的面积为 　　 $c{m}^2$．

如图1， $D$为 $\odot O$上一点，点 $C$在直径 $\mathit{BA}$的延长线上，且 $\angle \mathit{CDA}=\angle \mathit{CBD}$．

（1）判断直线 $\mathit{CD}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\tan \angle \mathit{ADC}=\frac{1}{2}$， $\mathit{AC}=2$，求 $\odot O$的半径；

（3）如图2，在（2）的条件下， $\angle \mathit{ADB}$的平分线 $\mathit{DE}$交 $\odot O$于点 $E$，交 $\mathit{AB}$于点 $F$，连结 $\mathit{BE}$．求 $\sin \angle \mathit{DBE}$的值．

如图， $\odot O$的直径 $\mathit{AB}=4$， $P$为 $\odot O$上的动点，连结 $\mathit{AP}$， $Q$为 $\mathit{AP}$的中点，若点 $P$在圆上运动一周，则点 $Q$经过的路径长是 　　．

如图，在 $\odot O$中， $\mathit{AB}$是直径， $\mathit{CD}$是弦， $\mathit{AB}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $P$，过点 $D$的 $\odot O$的切线与 $\mathit{AB}$延长线交于点 $E$，连接 $\mathit{CE}$．

（1）求证： $\mathit{CE}$为 $\odot O$的切线；

（2）若 $\odot O$半径为3， $\mathit{CE}=4$，求 $\sin \angle \mathit{DEC}$．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 为 $\odot O$ 的内接四边形，若四边形 $\mathit{OBCD}$ 为菱形，则 $\angle \mathit{BAD}$ 的度数为 $($ 　　 $)$

A．

$45°$

B．

$60°$

C．

$72°$

D．

$36°$

如图， $\odot O$的半径为1，点 $A$是 $\odot O$的直径 $\mathit{BD}$延长线上的一点， $C$为 $\odot O$上的一点， $\mathit{AD}=\mathit{CD}$， $\angle A=30°$．

（1）求证：直线 $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积；

（3）点 $E$在 $\stackrel{̂}{\mathit{BND}}$上运动（不与 $B$、 $D$重合），过点 $C$作 $\mathit{CE}$的垂线，与 $\mathit{EB}$的延长线交于点 $F$．

①当点 $E$运动到与点 $C$关于直径 $\mathit{BD}$对称时，求 $\mathit{CF}$的长；

②当点 $E$运动到什么位置时， $\mathit{CF}$取到最大值，并求出此时 $\mathit{CF}$的长．

已知平面直角坐标系中，点 $P(x_0$， $y_0)$和直线 $\mathit{Ax}+\mathit{By}+C=0$（其中 $A$， $B$不全为 $0)$，则点 $P$到直线 $\mathit{Ax}+\mathit{By}+C=0$的距离 $d$可用公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$来计算．

例如：求点 $P(1,2)$到直线 $y=2x+1$的距离，因为直线 $y=2x+1$可化为 $2x-y+1=0$，其中 $A=2$， $B=-1$， $C=1$，所以点 $P(1,2)$到直线 $y=2x+1$的距离为： $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|2\times 1+(-1)\times 2+1|}{\sqrt{2^2+{(-1)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$．

根据以上材料，解答下列问题：

（1）求点 $M(0,3)$到直线 $y=\sqrt{3}x+9$的距离；

（2）在（1）的条件下， $\odot M$的半径 $r=4$，判断 $\odot M$与直线 $y=\sqrt{3}x+9$的位置关系，若相交，设其弦长为 $n$，求 $n$的值；若不相交，说明理由．