初中数学等腰三角形的性质试题

若一个等腰三角形的顶角等于 $50°$，则它的底角等于　　 $°$．

如图，把 $\mathit{\Delta ABC}$沿 $\mathit{BC}$翻折得 $\mathit{\Delta DBC}$．

（1）连接 $\mathit{AD}$，则 $\mathit{BC}$与 $\mathit{AD}$的位置关系是　　．

（2）不在原图中添加字母和线段，只加一个条件使四边形 $\mathit{ABDC}$是平行四边形，写出添加的条件，并说明理由．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\angle A=70°$， $\mathit{DC}=\mathit{DB}$，则 $\angle \mathit{CDB}=$　　．

数学课上，张老师举了下面的例题：

例1 等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle A=110°$，求 $\angle B$的度数．（答案： $35°)$

例2 等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle A=40°$，求 $\angle B$的度数，（答案： $40°$或 $70°$或 $100°)$

张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：

变式 等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle A=80°$，求 $\angle B$的度数．

（1）请你解答以上的变式题．

（2）解（1）后，小敏发现， $\angle A$的度数不同，得到 $\angle B$的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形 $\mathit{ABC}$中，设 $\angle A=x°$，当 $\angle B$有三个不同的度数时，请你探索 $x$的取值范围．

等腰三角形 $\mathit{ABC}$中，顶角 $A$为 $40°$，点 $P$在以 $A$为圆心， $\mathit{BC}$长为半径的圆上，且 $\mathit{BP}=\mathit{BA}$，则 $\angle \mathit{PBC}$的度数为　　．

我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．

（1）概念理解：

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=6$， $\mathit{BC}=3$， $\angle \mathit{ACB}=30°$，试判断 $\mathit{\Delta ABC}$是否是”等高底”三角形，请说明理由．

（2）问题探究：

如图2， $\mathit{\Delta ABC}$是“等高底”三角形， $\mathit{BC}$是”等底”，作 $\mathit{\Delta ABC}$关于 $\mathit{BC}$所在直线的对称图形得到△ $A^{\text{'}}\mathit{BC}$，连接 $\mathit{AA}\text{'}$交直线 $\mathit{BC}$于点 $D$．若点 $B$是△ $\mathit{AA}\text{'}C$的重心，求 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}$的值．

（3）应用拓展：

如图3，已知 $l_1//l_2$， $l_1$与 $l_2$之间的距离为2．“等高底” $\mathit{\Delta ABC}$的“等底” $\mathit{BC}$在直线 $l_1$上，点 $A$在直线 $l_2$上，有一边的长是 $\mathit{BC}$的 $\sqrt{2}$倍．将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$按顺时针方向旋转 $45°$得到△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}C$， $A\text{'}C$所在直线交 $l_2$于点 $D$．求 $\mathit{CD}$的值．

如图， $\mathit{AD}$， $\mathit{CE}$分别是 $\mathit{\Delta ABC}$的中线和角平分线．若 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{CAD}=20°$，则 $\angle \mathit{ACE}$的度数是 $($　　 $)$

A． $20°$B． $35°$C． $40°$D． $70°$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，以点 $B$为圆心， $\mathit{BC}$长为半径画弧，交线段 $\mathit{AB}$于点 $D$；以点 $A$为圆心， $\mathit{AD}$长为半径画弧，交线段 $\mathit{AC}$于点 $E$，连接 $\mathit{CD}$．

（1）若 $\angle A=28°$，求 $\angle \mathit{ACD}$的度数．

（2）设 $\mathit{BC}=a$， $\mathit{AC}=b$．

①线段 $\mathit{AD}$的长是方程 $x^2+2\mathit{ax}-b^2=0$的一个根吗？说明理由．

②若 $\mathit{AD}=\mathit{EC}$，求 $\frac{a}{b}$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{AD}$为 $\mathit{BC}$边上的中线， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BDE}\backsim \mathit{\Delta CAD}$．

（2）若 $\mathit{AB}=13$， $\mathit{BC}=10$，求线段 $\mathit{DE}$的长．

如图，已知线段 $\mathit{AB}=2$， $\mathit{MN}\perp \mathit{AB}$于点 $M$，且 $\mathit{AM}=\mathit{BM}$， $P$是射线 $\mathit{MN}$上一动点， $E$， $D$分别是 $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$的中点，过点 $A$， $M$， $D$的圆与 $\mathit{BP}$的另一交点 $C$（点 $C$在线段 $\mathit{BD}$上），连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{DE}$．

（1）当 $\angle \mathit{APB}=28°$时，求 $\angle B$和 $\stackrel{̂}{\mathit{CM}}$的度数；

（2）求证： $\mathit{AC}=\mathit{AB}$．

（3）在点 $P$的运动过程中

①当 $\mathit{MP}=4$时，取四边形 $\mathit{ACDE}$一边的两端点和线段 $\mathit{MP}$上一点 $Q$，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且 $Q$为锐角顶点，求所有满足条件的 $\mathit{MQ}$的值；

②记 $\mathit{AP}$与圆的另一个交点为 $F$，将点 $F$绕点 $D$旋转 $90°$得到点 $G$，当点 $G$恰好落在 $\mathit{MN}$上时，连接 $\mathit{AG}$， $\mathit{CG}$， $\mathit{DG}$， $\mathit{EG}$，直接写出 $\mathit{\Delta ACG}$和 $\mathit{\Delta DEG}$的面积之比．

如图，已知等腰三角形 $\mathit{ABC}$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$．若以点 $B$为圆心， $\mathit{BC}$长为半径画弧，交腰 $\mathit{AC}$于点 $E$，则下列结论一定正确的是 $($　　 $)$

A． $\mathit{AE}=\mathit{EC}$B． $\mathit{AE}=\mathit{BE}$C． $\angle \mathit{EBC}=\angle \mathit{BAC}$D． $\angle \mathit{EBC}=\angle \mathit{ABE}$

等腰三角形的一个内角为 $100°$，则顶角的度数是　　．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $D$为直线 $\mathit{BC}$上一点， $E$为直线 $\mathit{AC}$上一点， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$，设 $\angle \mathit{BAD}=\alpha$， $\angle \mathit{CDE}=\beta$．

（1）如图，若点 $D$在线段 $\mathit{BC}$上，点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上．

①如果 $\angle \mathit{ABC}=60°$， $\angle \mathit{ADE}=70°$，那么 $\alpha =$　　 $°$， $\beta =$　　 $°$．

②求 $\alpha$， $\beta$之间的关系式．

（2）是否存在不同于以上②中的 $\alpha$， $\beta$之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．

如图，一次函数 $y=k_{1}x+b(k_1\ne 0)$与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}(k_2\ne 0)$的图象交于点 $A(-1,2)$， $B(m,-1)$．

（1）求这两个函数的表达式；

（2）在 $x$轴上是否存在点 $P(n$， $0\left)\right(n>0)$，使 $\mathit{\Delta ABP}$为等腰三角形？若存在，求 $n$的值；若不存在，说明理由．

如图，已知在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$．以 $\mathit{AB}$为直径作半圆 $O$，交 $\mathit{BC}$于点 $D$．若 $\angle \mathit{BAC}=40°$，则 $\stackrel{̂}{\mathit{AD}}$的度数是　　度．