如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点，连接 $AC$ ， $CE ⊥ AB$ 于点 $E$ ， $D$ 是直径 $AB$ 延长线上一点，且 $∠ BCE = ∠ BCD$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AD = 8$ ， $\frac{BE}{CE} = \frac{1}{2}$ ，求 $CD$ 的长．

相关试题

在Rt $△ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ} ， AB = 5 ， BC = 3$ ，将 $ABC$ 绕点 $B$ 顺时针旋转得到 $△ A^{'} B C^{'}$ ，其中点 $A ， C$ 的对应点分别为点 $A^{'} ， C^{'}$ .

（1）如图①，当点 $A^{'}$ 落在 $AC$ 的延长线上时，求 $A A^{'}$ 的长；

（2）如图②，当点 $C^{'}$ 落在 $AB$ 的延长线上时，连接 $C C^{'}$ 交 $A^{'} B$ 于点 $M$ ，求 $BM$ 的长；

（3）如图③，连接 $A A^{'} ， C C^{'}$ ，直线 $C C^{'}$ 交 $A A^{'}$ 于点 $D$ ，点 $E$ 为 $AC$ 的中点，连接 $DE$ .在旋转过程中， $DE$ 是否存在最小值?若存在，求出 $DE$ 的最小值；若不存在，请说明理由.

题型：未知
难度：未知

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已知平面直角坐标系中，点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 和直线 $Ax + By + C = 0$ （其中 $A ， B$ 不全为0 $）$ ，则点 $P$ 到直线 $Ax + By + C = 0$ 的距离 $d$ 可用公式 $d = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ 来计算.

例如:求点 $P （ 1 ， 2 ）$ 到直线 $y = 2 x + 1$ 的距离，因为直线 $y = 2 x + 1$ 可化为 $2 x - y + 1 = 0$ ，其中 $A = 2 ， B = - 1 ， C = 1$ ，所以点 $P （ 1 ， 2 ）$ 到直线 $y = 2 x + 1$ 的距离为 $d = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} = \frac{| 2 \times 1 + （ - 1 ） \times 2 + 1 |}{\sqrt{2^{2} + （ - 1 ）^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .根据以上材料，解答下列问题:

（1）求点 $M （ 0 ， 3 ）$ 到直线 $y = \sqrt{3} x + 9$ 的距离；

（2）在（1）的条件下， $⊙ M$ 的半径 $r = 4$ ，判断 $⊙ M$ 与直线 $y = \sqrt{3} x + 9$ 的位置关系，若相交，设其弦长为 $n$ ，求 $n$ 的值；若不相交，说明理由.

题型：未知
难度：未知

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如图，在 $△ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ} ， CD ⊥ AB$ 于点 $D ， CD = 1$ ，已知 $AD ， BD$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + px + q = 0$ 的两根，且 $\tan A - \tan B = 2$ ，求 $p ， q$ 的值.

题型：未知
难度：未知

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如图①，在， $Rt △ ABC$ 中，以下是小亮探究 $\frac{a}{\sin A}$ 与 $\frac{b}{\sin B}$ 之间关系的方法:

$∵ \sin A = \frac{a}{c} ， \sin B = \frac{b}{c} ， ∴ c = \frac{a}{\sin A} ， c = \frac{b}{\sin B} ， ∴ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} .$

根据你掌握的三角函数知识.在图②）的锐角 $△ ABC$ 中，探究 $\frac{a}{\sin A} ， \frac{b}{\sin B} ， \frac{c}{\sin C}$ 之间的关系，并写出探究过程.

题型：未知
难度：未知

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在 $Rt △ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ} ， ∠ ABC = α$ ，点 $P$ 在 $△ ABC$ 的内部.

（1）如图①， $AB = 2 AC ， PB = 3$ ，点 $M ， N$ 分别在 $AB ， BC$ 边上，则 $\cos α =________， △ PMN$ 周长的最小值为________.

（2）如图②，若条件 $AB = 2 AC$ 不变，而 $PA = \sqrt{2} ， PB = \sqrt{10} ， PC = 1$ ，求 $△ ABC$ 的面积；

（3）若 $PA = m ， PB = n ， PC = k$ ，且 $k = m \cos α = n \sin α$ ，直接写出 $∠ APB$ 的度数.

题型：未知
难度：未知

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