如图，在△ABC中，∠ACB90∘，CD⊥AB于点D，CD1

更新 2023-05-06
科目数学
题型解答题
难度较难
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如图，在 $△ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ} ， CD ⊥ AB$ 于点 $D ， CD = 1$ ，已知 $AD ， BD$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + px + q = 0$ 的两根，且 $\tan A - \tan B = 2$ ，求 $p ， q$ 的值.

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先化简，再求值： $1 - \frac{a - b}{a + 2 b} \div \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} + 4 ab + 4 b^{2}}$ ，其中 $a = \sqrt{3} - 3$ ， $b = 3$ ．

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（1）求证： $BC$ 是半圆 $O$ 的切线；

（2）试判断四边形 $OBCD$ 的形状，并说明理由；

（3）如图2，若抛物线经过点 $D$ 且顶点为 $E$ ．

①求此抛物线的解析式；

②点 $P$ 是此抛物线对称轴上的一个动点，以 $E$ ， $D$ ， $P$ 为顶点的三角形与 $ΔOAB$ 相似，问抛物线上是否存在一点 $Q$ ．使 $S_{ΔEPQ} = S_{ΔOAB}$ ？若存在，请直接写出 $Q$ 点的横坐标；若不存在，说明理由．

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目的地

生产厂

$A$

$B$

甲

乙

（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？

（2）设这批物资从乙厂运往 $A$ 地 $x$ 吨，全部运往 $A$ ， $B$ 两地的总运费为 $y$ 元．求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；

（3）当每吨运费均降低 $m$ 元 $(0 < m ⩽ 15$ 且 $m$ 为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求 $m$ 的最小值．

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如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 20$ ，点 $E$ 是 $BC$ 边上的一点，将 $ΔABE$ 沿着 $AE$ 折叠，点 $B$ 刚好落在 $CD$ 边上点 $G$ 处；点 $F$ 在 $DG$ 上，将 $ΔADF$ 沿着 $AF$ 折叠，点 $D$ 刚好落在 $AG$ 上点 $H$ 处，此时 $S_{ΔGFH} : S_{ΔAFH} = 2 : 3$ ，

（1）求证： $ΔEGC ∽ ΔGFH$ ；

（2）求 $AD$ 的长；

（3）求 $\tan ∠ GFH$ 的值．

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