如图，在△ABC中，∠ACB90∘，CD⊥AB于点D，CD1

更新 2023-05-06
科目数学
题型解答题
难度较难
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如图，在 $△ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ} ， CD ⊥ AB$ 于点 $D ， CD = 1$ ，已知 $AD ， BD$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + px + q = 0$ 的两根，且 $\tan A - \tan B = 2$ ，求 $p ， q$ 的值.

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如图，点 $M$ 和点 $N$ 在 $∠ AOB$ 内部．

（1）请你作出点 $P$ ，使点 $P$ 到点 $M$ 和点 $N$ 的距离相等，且到 $∠ AOB$ 两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）请说明作图理由．

题型：未知
难度：未知

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某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查结果按性别整理如下：

女生阅读时间人数统计表

阅读时间 $t$ （小时）	人数	占女生人数百分比
$0 ⩽ t < 0.5$	4	$20 %$
$0.5 ⩽ t < 1$	$m$	$15 %$
$1 ⩽ t < 1.5$	5	$25 %$
$1.5 ⩽ t < 2$	6	$n$
$2 ⩽ t < 2.5$	2	$10 %$

根据图表解答下列问题：

（1）在女生阅读时间人数统计表中， $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）此次抽样调查中，共抽取了　　名学生，学生阅读时间的中位数在　　时间段；

（3）从阅读时间在 $2 ~ 2.5$ 小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？

题型：未知
难度：未知

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计算： $6 \sin 60 ° - \sqrt{12} + {(\frac{1}{2})}^{0} + | \sqrt{3} - 2018 |$

题型：未知
难度：未知

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如图1，抛物线 $C : y = a x^{2} + bx$ 经过点 $A (- 4, 0)$ 、 $B (- 1, 3)$ 两点， $G$ 是其顶点，将抛物线 $C$ 绕点 $O$ 旋转 $180 °$ ，得到新的抛物线 $C'$ ．

（1）求抛物线 $C$ 的函数解析式及顶点 $G$ 的坐标；

（2）如图2，直线 $l : y = kx - \frac{12}{5}$ 经过点 $A$ ， $D$ 是抛物线 $C$ 上的一点，设 $D$ 点的横坐标为 $m (m < - 2)$ ，连接 $DO$ 并延长，交抛物线 $C'$ 于点 $E$ ，交直线 $l$ 于点 $M$ ，若 $DE = 2 EM$ ，求 $m$ 的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $AG$ 、 $AB$ ，在直线 $DE$ 下方的抛物线 $C$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $∠ DEP = ∠ GAB$ ？若存在，求出点 $P$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

题型：未知
难度：未知

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小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．

（一 $)$ 猜测探究

在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $M$ 是平面内任意一点，将线段 $AM$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转与 $∠ BAC$ 相等的角度，得到线段 $AN$ ，连接 $NB$ ．

（1）如图1，若 $M$ 是线段 $BC$ 上的任意一点，请直接写出 $∠ NAB$ 与 $∠ MAC$ 的数量关系是　 $∠ NAB = ∠ MAC$ 　， $NB$ 与 $MC$ 的数量关系是　　；

（2）如图2，点 $E$ 是 $AB$ 延长线上点，若 $M$ 是 $∠ CBE$ 内部射线 $BD$ 上任意一点，连接 $MC$ ，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．

（二 $)$ 拓展应用

如图3，在△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = 8$ ， $∠ A_{1} B_{1} C_{1} = 60 °$ ， $∠ B_{1} A_{1} C_{1} = 75 °$ ， $P$ 是 $B_{1} C_{1}$ 上的任意点，连接 $A_{1} P$ ，将 $A_{1} P$ 绕点 $A_{1}$ 按顺时针方向旋转 $75 °$ ，得到线段 $A_{1} Q$ ，连接 $B_{1} Q$ ．求线段 $B_{1} Q$ 长度的最小值．

题型：未知
难度：未知

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