如图，在ΔABC中，∠C90°，AD平分∠BAC交BC于点D

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AD$ 平分 $∠ BAC$ 交 $BC$ 于点 $D$ ，点 $O$ 在 $AB$ 上，以点 $O$ 为圆心， $OA$ 为半径的圆恰好经过点 $D$ ，分别交 $AC$ 、 $AB$ 于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）试判断直线 $BC$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $BD = 2 \sqrt{3}$ ， $AB = 6$ ，求阴影部分的面积（结果保留 $π)$ ．

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（3）在抛物线 $C$ 的对称轴上是否存在定点 $F$ ，使抛物线 $C$ 上任意一点 $P$ 到点 $F$ 的距离等于到直线 $y = \frac{17}{4}$ 的距离？若存在，求出定点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：未知
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（1）如图1， $E$ 是正方形 $ABCD$ 边 $AB$ 上的一点，连接 $BD$ 、 $DE$ ，将 $∠ BDE$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90 °$ ，旋转后角的两边分别与射线 $BC$ 交于点 $F$ 和点 $G$ ．

①线段 $DB$ 和 $DG$ 的数量关系是　　；

②写出线段 $BE$ ， $BF$ 和 $DB$ 之间的数量关系．

（2）当四边形 $ABCD$ 为菱形， $∠ ADC = 60 °$ ，点 $E$ 是菱形 $ABCD$ 边 $AB$ 所在直线上的一点，连接 $BD$ 、 $DE$ ，将 $∠ BDE$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $120 °$ ，旋转后角的两边分别与射线 $BC$ 交于点 $F$ 和点 $G$ ．

①如图2，点 $E$ 在线段 $AB$ 上时，请探究线段 $BE$ 、 $BF$ 和 $BD$ 之间的数量关系，写出结论并给出证明；

②如图3，点 $E$ 在线段 $AB$ 的延长线上时， $DE$ 交射线 $BC$ 于点 $M$ ，若 $BE = 1$ ， $AB = 2$ ，直接写出线段 $GM$ 的长度．

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