已知抛物线$y=a{x}^2+\mathit{bx}-4$经过点$A(2,0)$、$B(-4,0)$，与$y$轴交于点$C$．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）如图1，点$P$是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形$\mathit{ABPC}$的面积最大时，求点$P$的坐标；

（3）如图2，线段$\mathit{AC}$的垂直平分线交$x$轴于点$E$，垂足为$D$，$M$为抛物线的顶点，在直线$\mathit{DE}$上是否存在一点$G$，使$\mathit{\Delta CMG}$的周长最小？若存在，求出点$G$的坐标；若不存在，请说明理由．