如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且，连接AC，

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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挑错有奖

山东省临沂市九年级上学期阶段性抽测数学试卷

上一题下一题

如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD=，求⊙O的半径．

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疫苗接种初期，为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教育部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统计表：

	已接种	未接种	合计
七年级	30	10	40
八年级	35	15	$a$
九年级	40	$b$	60
合计	105	$c$	150

（1）表中， $a =$ 　　， $b =$ 　　， $c =$ 　　；

（2）由表中数据可知，统计的教师中接种率最高的是　　年级教师；（填“七”或“八”或“九” $)$

（3）若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，根据抽样结果估计未接种的教师约有　　人；

（4）为更好地响应号召，立德中学从最初接种的4名教师（其中七年级1名，八年级1名，九年级2名）中随机选取2名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，求选中的两名教师恰好不在同一年级的概率．

题型：未知
难度：未知

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如图，在菱形 $ABCD$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $AC$ 上的两点，且 $AE = CF$ ．

（1）求证： $ΔABE ≅ ΔCDF$ ；

（2）证明四边形 $BEDF$ 是菱形．

题型：未知
难度：未知

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先化简，再求值： $(1 + \frac{1}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - 4}{2 x + 2}$ ，其中 $x = 1$ ．

题型：未知
难度：未知

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已知抛物线 $y = a x^{2} + bx - 5$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ 和 $B (- 5, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $P$ ，点 $N$ 在抛物线对称轴上且位于 $x$ 轴下方，连 $AN$ 交抛物线于 $M$ ，连 $AC$ 、 $CM$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，当 $\tan ∠ ACM = 2$ 时，求 $M$ 点的横坐标；

（3）如图2，过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线 $l$ ，过 $M$ 作 $MD ⊥ l$ 于 $D$ ，若 $MD = \sqrt{3} MN$ ，求 $N$ 点的坐标．

题型：未知
难度：未知

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已知等边三角形 $ABC$ ，过 $A$ 点作 $AC$ 的垂线 $l$ ，点 $P$ 为 $l$ 上一动点（不与点 $A$ 重合），连接 $CP$ ，把线段 $CP$ 绕点 $C$ 逆时针方向旋转 $60 °$ 得到 $CQ$ ，连 $QB$ ．

（1）如图1，直接写出线段 $AP$ 与 $BQ$ 的数量关系；

（2）如图2，当点 $P$ 、 $B$ 在 $AC$ 同侧且 $AP = AC$ 时，求证：直线 $PB$ 垂直平分线段 $CQ$ ；

（3）如图3，若等边三角形 $ABC$ 的边长为4，点 $P$ 、 $B$ 分别位于直线 $AC$ 异侧，且 $ΔAPQ$ 的面积等于 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求线段 $AP$ 的长度．

题型：未知
难度：未知

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