为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为获奖同学

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为获奖同学买奖品，要求每人一件．小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择．如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元．
（1）求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？
（2）售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受8折优惠，若买x（x＞0）支钢笔需要花y元，请你求出y与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，小明决定买同一种奖品，数量超过10个，请帮小明判断买哪种奖品省钱．

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如图，已知 $ΔABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $M$ 从点 $C$ 出发沿 $CB$ 方向以 $1 cm / s$ 的速度匀速运动，到达点 $B$ 停止运动，在点 $M$ 的运动过程中，过点 $M$ 作直线 $MN$ 交 $AC$ 于点 $N$ ，且保持 $∠ NMC = 45 °$ ，再过点 $N$ 作 $AC$ 的垂线交 $AB$ 于点 $F$ ，连接 $MF$ ．将 $ΔMNF$ 关于直线 $NF$ 对称后得到 $ΔENF$ ，已知 $AC = 8 cm$ ， $BC = 4 cm$ ，设点 $M$ 运动时间为 $t (s)$ ， $ΔENF$ 与 $ΔANF$ 重叠部分的面积为 $y (c m^{2})$ ．

（1）在点 $M$ 的运动过程中，能否使得四边形 $MNEF$ 为正方形？如果能，求出相应的 $t$ 值；如果不能，说明理由；

（2）求 $y$ 关于 $t$ 的函数解析式及相应 $t$ 的取值范围；

（3）当 $y$ 取最大值时，求 $\sin ∠ NEF$ 的值．

题型：未知
难度：未知

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如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象的顶点坐标是 $(2, 1)$ ，并且经过点 $(4, 2)$ ，直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 与抛物线交于 $B$ ， $D$ 两点，以 $BD$ 为直径作圆，圆心为点 $C$ ，圆 $C$ 与直线 $m$ 交于对称轴右侧的点 $M (t, 1)$ ，直线 $m$ 上每一点的纵坐标都等于1．