（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，过点作一条直线与抛物

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度困难
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（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，过点作一条直线与抛物线交于,两点．
（Ⅰ）求以点为圆心，且与直线相切的圆的方程；
（Ⅱ）从中取出三个量，使其构成等比数列，并予以证明．

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如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 1, A B = A D = 2, E, F$ ，分别是 $A B, B C$ 的中点．证明 $A_{1}, C_{1}, F, E$ 四点共面，并求直线 $C D_{1}$ 与平面 $A_{1} C_{1} F E$ 所成的角的大小.

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已知关于 $x$ 的不等式 $|x + a| < b$ 的解集为 $\{x 2 < x < 4\}$

（Ⅰ）求实数 $a, b$ 的值；
（Ⅱ）求 $\sqrt{a t + 12} + \sqrt{b t}$ 的最大值.

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选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标版权法 $x O y$ 吕，直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = 3 + \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{cases}$ ( $t$ 为参数），以原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， $⊙ C$ 的极坐标方程为 $ρ = \sqrt{3} \sin θ$ .
（Ⅰ）写出 $⊙ C$ 的直角坐标方程；
（Ⅱ） $P$ 为直线 $l$ 上一动点，当 $P$ 到圆心 $C$ 的距离最小时，求点 $P$ 的坐标.

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如图， $A B$ 切 $⊙ O$ 于点 $B$ ，直线 $A O$ 交 $⊙ O$ 于 $D, E$ 两点， $B C ⊥ D E$ 垂足为 $C$ .

（Ⅰ）证明： $∠ C B D = ∠ D B A$

（Ⅱ）若 $A D = 3 D C, B C = \sqrt{2}$ ，求 $⊙ O$ 的直径.

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设 $f_{n} (x) = x + x^{2} + \dots + x^{n} - 1, n \in N, n \geq 2$ .

（Ⅰ）求 ${f^{`}}_{n} (2)$ ；
（Ⅱ）证明： $f_{n} (x)$ 在 $(0, \frac{2}{3})$ 内有且仅有一个零点（记为 $a_{n}$ ），且 $0 < a_{n} - \frac{1}{2} < \frac{1}{3} {(\frac{2}{3})}^{n}$ .

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