某单位从一所学校招收某类特殊人才．对位已经选拔入围的学生进行_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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北京市朝阳区高三第一次综合练习文科数学试卷

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某单位从一所学校招收某类特殊人才．对位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：

	一般	良好	优秀
一般
良好
优秀

例如表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是人．由于部分数据丢失，只知道从这位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为．
（1）求，的值；
（2）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率．

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如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，则面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，侧棱 $P A = P D = \sqrt{2}$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形，其中 $B C / / A D, A B ⊥ A D, A D = 2 A B = 2 B C = 2$ ， $O$ 为 $A D$ 中点.

（Ⅰ）求证： $P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；
（Ⅱ）求异面直线 $P D$ 与 $C D$ 所成角的大小；
（Ⅲ）线段 $A D$ 上是否存在点 $Q$ ，使得它到平面 $P C D$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ？若存在，求出 $\frac{A Q}{Q D}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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已知向量 $m = (\sin A, \cos A)$ ， $n = (\sqrt{3}, - 1)$ ， $m \cdot n = 1$ ，且 $A$ 为锐角。
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（Ⅱ）求函数 $f (x) = = \cos 2 x + 4 \cos A \sin x (x \in R)$ 的值域。

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设点 $P (x_{0}, y_{0})$ 在直线 $x = m (y \neq \pm m, 0 < m < 1)$ 上，过点 $P$ 作双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的两条切线 $P A, P B$ ，切点为 $A, B$ ，定点 $M (\frac{1}{m}, 0)$ .

（1）求证：三点 $A, M, B$ 共线；
（2）过点 $A$ 作直线 $x - y = 0$ 的垂线，垂足为 $N$ ，试求 $△ A M N$ 的重心 $G$ 所在曲线方程.

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如图，正三棱锥 $O - A B C$ 的三条侧棱 $O A, O B, O C$ 两两垂直，且长度均为2． $E, F$ 分别是 $A B, A C$ 的中点， $H$ 是 $E F$ 的中点，过 $E F$ 作平面与侧棱 $O A, O B, O C$ 或其延长线分别相交于 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ ，已知 $O A_{1} = \frac{3}{2}$ 。

（1）求证： $B_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $O A H$ ；
（2）求二面角 $O - A_{1} B_{1} - C_{1}$ 的大小。

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数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{n}$ 为正整数，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列，且 $a_{1} = 3, b_{1} = 1$ ，数列 ${b_{a_{n}}}$ 是公比为64的等比数列， $b_{2} S_{2} = 64$ 。
（1）求 $a_{n}, b_{n}$ ；

（2）求证 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{n}} < \frac{3}{4}$ .

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