在平面直角坐标系xOy中，点
、
分别在
轴、
轴的正半轴上，且
，点
为线段
的中点．
（1）如图1，线段
的长度为________________；
（2）如图2，以为斜边作等腰直角三角形
，当点
在第一象限时，求直线
所对应的函数的解析式；
（3）如图3，设点
、
分别在轴、
轴的负半轴上，且
，以
为边在第三象限内作正方形
，请求出线段
长度的最大值，并直接写出此时直线所对应的函数的解析式．
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如图1， 的三个顶点 、 、 分别落在抛物线 的图象上，点 的横坐标为 ，点 的纵坐标为 ．（点 在点 的左侧）
（1）求点 、 的坐标；
（2）将 绕点 逆时针旋转 得到△ ，抛物线 经过 、 两点，已知点 为抛物线 的对称轴上一定点，且点 恰好在以 为直径的圆上，连接 、 ，求△ 的面积；
（3）如图2，延长 交抛物线 于点 ，连接 ，在坐标轴上是否存在点 ，使得以 、 、 为顶点的三角形与△ 相似．若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
操作体验：如图，在矩形 中，点 、 分别在边 、 上，将矩形 沿直线 折叠，使点 恰好与点 重合，点 落在点 处．点 为直线 上一动点（不与 、 重合），过点 分别作直线 、 的垂线，垂足分别为点 和 ，以 、 为邻边构造平行四边形 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）特例感知：如图2，若 ， ，当点 在线段 上运动时，求平行四边形 的周长；
（3）类比探究：若 ， ．
①如图3，当点 在线段 的延长线上运动时，试用含 、 的式子表示 与 之间的数量关系，并证明；
②如图4，当点 在线段 的延长线上运动时，请直接用含 、 的式子表示 与 之间的数量关系．（不要求写证明过程）
慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高 为1.7米，他站在 处测得塔顶的仰角 为 ，小琴的目高 为1.5米，她站在距离塔底中心 点 米远的 处，测得塔顶的仰角 为 ．（点 、 、 在同一水平线上，参考数据： ， ，
（1）求小亮与塔底中心的距离 ；（用含 的式子表示）
（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度 ．
为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．
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分数段 |
频数 |
频率 |
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2 |
0.05 |
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0.2 |
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12 |
0.3 |
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14 |
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4 |
0.1 |
（1）表中 ， ；
（2）请在图中补全频数直方图；
（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在 分数段内；
（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
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