如图，已知四棱锥的正视图和侧视图均是直角三角形，俯视图为矩形

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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挑错有奖

[广东]2011-2012学年广东省六校联合体高二元月联考理科数学

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如图，已知四棱锥的正视图和侧视图均是直角三角形，俯视图为矩形，N、F分别是SC、AB的中点，，．
（1）求证：SA⊥平面ABCD
（2）求证：NF∥平面SAD；
（3）求二面角A-BN-C的余弦值．

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如图， $DC ⊥ 平面 ABC$ , $EB ∥ DC$ , $AC = BC = EB = 2 DC = 2$ , $∠ ACB = 120 °$ ，P,Q分别为AE,AB的中点.

（Ⅰ）证明： $PQ ∥ 平面 ACD$ ；

（Ⅱ）求 $AD$ 与 $平面 ABE$ 所成角的正弦值.

题型：未知
难度：未知

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在 $ΔABC$ 中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 $\cos \frac{A}{2} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3$ .

(Ⅰ)求 $△ ABC$ 的面积；

（Ⅱ）若 $c = 1$ ，求 $a$ 的值.

题型：未知
难度：未知

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双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{4^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} = 4 + b^{2} (b > 0)$ 在第一象限交点为A， $A (x_{A}, y_{A})$ ，曲线 $Γ \{\begin{matrix} \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, |x| > x_{A} \\ x^{2} + y^{2} = 4 + b^{2}, |x| > x_{A} \end{matrix}$ 。

（1）若 $x_{A} = \sqrt{6}$ ，求b；

（2）若 $b = \sqrt{5}$ ， $C_{2}$ 与x轴交点记为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，P是曲线 $Γ$ 上一点，且在第一象限，并满足 $|P F_{1}| = 8$ ，求∠ $F_{1} P F_{2}$ ；

（3）过点 $S (0, 2 + \frac{b^{2}}{2})$ 且斜率为 $- \frac{b}{2}$ 的直线 $l$ 交曲线 $Γ$ 于M、N两点，用b的代数式表示 $\vec{OM} ∙ \vec{ON}$ ，并求出 $\vec{OM} ∙ \vec{ON}$ 的取值范围。

题型：未知
难度：未知

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已知： $ν = \frac{q}{x}$ ， $x \in (0, 80]$ ，且 $ν = \{\begin{matrix} 100 -135 (\frac{1}{3})^{\frac{80}{x}}, x \in (0, 40) \\ - k (x - 40) + 85, x \in [40, 80] \end{matrix} (k > 0)$ ，

（1）若v>95，求x的取值范围；

（2）已知x=80时，v=50，求x为多少时，q可以取得最大值，并求出该最大值。

题型：未知
难度：未知

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已知 $f (x) =sin ωx (ω > 0)$ .

（1）若f(x)的周期是4π，求 $ω$ ，并求此时 $f (x) = \frac{1}{2}$ 的解集；

（2）已知 $ω = 1$ ， $g (x) = f^{2} (x) + \sqrt{3} f (- x) f (\frac{π}{2} - x)$ ， $x \in [0, \frac{π}{4}]$ ，求g(x)的值域.

题型：未知
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