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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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上海市徐汇区高三第二次模拟考试数学卷（理）

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（本题满分16分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）
设、为坐标平面上的点，直线（为坐标原点）与抛物线交于点(异于).
（1）      若对任意，点在抛物线上，试问当为何值时，点在某一圆上，并求出该圆方程；
（2）      若点在椭圆上，试问：点能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；
（3）      对（1）中点所在圆方程，设、是圆上两点，且满足，试问：是否存在一个定圆，使直线恒与圆相切.

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如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = A D$ ， $∠ B A D = 60^{°}$ ， $E, F$ 分别是 $A P, A D$ 的中点.
求证：（1）直线 $E F / /$ 平面 $P C D$ ；
（2）平面 $B E F ⊥$ 平面 $P A D$ .

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在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对应的边为 $a, b, c$

（1）若 $\sin (A + \frac{π}{6}) = 2 \cos A$ ,求 $A$ 的值；
（2）若 $\cos A = \frac{1}{3}, b = 3 c$ ，求 $\sin C$ 的值.

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在平面直角坐标系 $x O y$ 上，给定抛物线 $L : y = \frac{1}{4} x^{2}$ ．实数 $p, q$ 满足 $p^{2} - 4 q \geq 0$ , $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $x^{2} - p x + q = 0$ 的两根，记 $φ (p, q) = m a x \{|x_{1}|, |x_{2}|\}$

（1）过点 $A (p_{0}, \frac{1}{4} {p_{0}}^{2}) (p_{0} \neq 0)$ 作 $L$ 的切线教 $y$ 轴于点 $B$ ．证明：对线段 $A B$ 上任一点 $Q (p, q)$ 有 $φ (p, q) = \frac{|p_{0}|}{2}$ ;

（2）设 $M (a, b)$ 是定点，其中 $a, b$ 满足 $a^{2} - 4 b > 0$ , $a \neq 0$ .过 $M (a, b)$ 作 $L$ 的两条切线 $l_{1}, l_{2}$ ，切点分别为 $E (p_{1,} \frac{1}{4} {p_{1}}^{2})$ ， $E^{`} (p_{2}, \frac{1}{4} {p_{2}}^{2})$ $l_{1}, l_{2}$ 与y轴分别交与 $F, F `$ .线段 $E F$ 上异于两端点的点集记为 $X$ ．证明： $M (a, b) \in X \Leftrightarrow |P_{1}| > |P_{2}| \Leftrightarrow φ (a, b) = \frac{|p_{1}|}{2}$ ;

（3）设 $D = \{(x, y) | y \leq x - 1, y \geq \frac{1}{4} (x + 1)^{2} - \frac{5}{4}\}$ ．当点 $(p, q)$ 取遍 $D$ 时，求 $φ (p, q)$ 的最小值（记为 $φ_{m i n}$ ）和最大值（记为 $φ_{m a x}$ ）．

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设 $b > 0$ ,数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = b$ , $a_{n} = \frac{n b a_{n - 1}}{a_{n - 1} + 2 n - 2} (n \geq 2)$ ,

(1)求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

(2)证明：对于一切正整数 $n$ , $a_{n} \leq \frac{b^{n + 1}}{2^{n + 1}} + 1$

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$F (\sqrt{5}, 0)$ 设圆 $C$ 与两圆_{$(x + \sqrt{5})^{2} + y^{2} = 4, (x - \sqrt{5})^{2} + y^{2} = 4$}中的一个内切，另一个外切.

（1）求 $C$ 的圆心轨迹 $L$ 的方程.

（2）已知点 $M (\frac{3 \sqrt{5}}{5}, \frac{4 \sqrt{5}}{5})$ ,_{$F (\sqrt{5}, 0)$}且 $P$ 为 $L$ 上动点，求 $||M P| - |F P||$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标.

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