2013年全国统一高考文科数学试卷（上海卷）

不等式 $\frac{x}{2x-1}<0$的解为．

在等差数列 $\left\{a_n\right\}$中，若 $a_1+a_2+a_3+a_4=30$，则 $a_2+a_3=$．

设 $m\in R,m^2+m-2+(m^2-1)$, $i$是纯虚数，其中 $i$是虚数单位，则 $m=$．

已知 $\left|\begin{array}{cc}x& 2\\ 1& 1\end{array}\right|=0$， $\left|\begin{array}{cc}x& y\\ 1& 1\end{array}\right|=1$，则 $y=$．

已知 $△ABC$的内角 $A$， $B$， $C$所对的边分别是 $a$， $b$， $c$，若 $a^2+ab+b^2-c^2=0$，则角 $C$的大小是．

某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．

设常数 $a\in R$，若 ${\left(a^2+\frac{a}{x}\right)}^5$的二项展开式中 $x^7$项的系数为 $-10$，则 $a=$．

方程 $\frac{9}{3^x-1}+1=3^x$的实数解为．

若 $\cos x\cos y+\sin x\sin y=\frac{1}{3}$，则 $\cos \left(2x-2y\right)$=．

已知圆柱 $\Omega$的母线长为l，底面半径为 $r$, $O$是上底面圆心, $A,B$是下底面圆周上两个不同的点, $BC$是母线,如图,若直线 $OA$与 $BC$所成角的大小为 $\frac{\pi }{6}$,则 $\frac{1}{r}$=．

盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是(结果用最简分数表示).

设 $AB$是椭圆 $\Gamma$的长轴，点 $C$在 $\Gamma$上，且 $\angle CBA=\frac{\pi }{4}$，若 $AB=4,BC=\sqrt{2}$，则 $\Gamma$的两个焦点之间的距离为．

设常数 $a>0$，若 $9x+\frac{a^2}{x}\ge a+1$对一切正实数 $x$立，则 $a$的取值范围为．

已知正方形 $ABCD$的边长为1，记以 $A$为起点，其余顶点为终点的向量分别为 $\stackrel{\to }{a_1},\stackrel{\to }{a_2},\stackrel{\to }{a_3}$；以 $C$为起点，其余顶点为终点的向量分别为 $\stackrel{\to }{c_1},\stackrel{\to }{c_2},\stackrel{\to }{c_3}$，若 $i,j,k,1\in \{1,2,3\}$，且 $i\ne j,k\ne 1$，则 $(\stackrel{\to }{a_i}+\stackrel{\to }{a_j})·(\stackrel{\to }{c_k}+\stackrel{\to }{c_1})$的最小值是．

函数 $f\left(x\right)=x^2-1\left(x\ge 0\right)$的反函数为 $f^{-1}\left(x\right)$，则 $f^{-1}\left(2\right)$的值是（）

设常数 $a\in R$，集合 $A=\left\{\overline{)x}\left(x-1\right)\left(x-a\right)\ge 0\right\}$， $B=\left\{\overline{)x}x\ge a-1\right\}$，若 $A\cup B=R$，则 $a$的取值范围为（）

钱大姐常说"好货不便宜"，她这句话的意思是："好货"是"不便宜"的（）

记椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{n{y}^2}{4n+1}=1$围成的区域（含边界）为Ω ${}_n$（ $n=$1，2，…），当点 $(x,y）$分别在Ω₁，Ω₂，…上时， $x+y$的最大值分别是 $M_1,M_2,...$，则 $\underset{n\to \infty }{lim}{M}_n$=（　　）

如图，正三棱锥 $O-ABC$的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．

甲厂以 $x$千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 $1\le x\le 10$），每一小时可获得的利润是 $100(5x+1-\frac{3}{x})$元．
（1）求证：生产 $a$千克该产品所获得的利润为 $100a\left(5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}\right)$元；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．

已知函数 $f\left(x\right)=2\sin (\omega x）$，其中常数 $\omega >0$
（1）令 $\omega =1$，判断函数 $F\left(x\right)=f\left(x\right)+f(x+\frac{\pi }{2})$的奇偶性，并说明理由；
（2）令 $\omega =2$，将函数 $y=F\left(x\right)$的图象向左平移个 $\frac{\pi }{6}$单位，再向上平移1个单位，得到函数 $y=g\left(x\right)$的图象，对任意 $a\in R$，求 $y=g\left(x\right)$在区间 $[a,a+10\pi ]$上零点个数的所有可能值．

已知函数 $f\left(x\right)=2-\left|x\right|$,无穷数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $a_{n+1}=f\left(a_n\right)$, $n\in N^{*}$.
（1）若 $a_1=0$,求 $a_2,a_3,a_4$；
（2）若 $a_1>0$,且 $a_1,a_2,a_3$成等比数列，求 $a_1$的值
（3）是否存在 $a_1$，使得 $a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots$成等差数列？若存在，求出所有这样的 $a_1$，若不存在，说明理由．

如图，已知双曲线 $C_1:\frac{x^2}{2}-y^2=1$，曲线 $C_2:\left|y\right|=\left|x\right|+1$， $P$是平面内一点，若存在过点 $P$的直线与 $C_1,C_2$都有公共点，则称 $P$为" $C_1-C_2$型点"

（1）在正确证明 $C_1$的左焦点是" $C_1-C_2$型点"时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
（2）设直线 $y=kx$与 $C_2$有公共点，求证 $\left|k\right|>1$，进而证明原点不是" $C_1-C_2$型点"；
（3）求证：圆 $x^2+y^2=\frac{1}{2}$内的点都不是" $C_1-C_2$型点"