如图，已知双曲线 $C_1:\frac{x^2}{2}-y^2=1$，曲线 $C_2:\left|y\right|=\left|x\right|+1$， $P$是平面内一点，若存在过点 $P$的直线与 $C_1,C_2$都有公共点，则称 $P$为" $C_1-C_2$型点"

（1）在正确证明 $C_1$的左焦点是" $C_1-C_2$型点"时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
（2）设直线 $y=kx$与 $C_2$有公共点，求证 $\left|k\right|>1$，进而证明原点不是" $C_1-C_2$型点"；
（3）求证：圆 $x^2+y^2=\frac{1}{2}$内的点都不是" $C_1-C_2$型点"