甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1 ≤ x ≤ 10 ),每一小时可获得的利润是 100 ( 5 x + 1 - 3 x ) 元. (1)求证:生产 a 千克该产品所获得的利润为 100 a 5 + 1 x - 3 x 2 元; (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.
若是方程的两根,且求的值.
设集合是函数的定义域,集合是函数的值域. (Ⅰ)求集合; (Ⅱ)设集合,若集合,求实数的取值范围.
已知椭圆:. (1)椭圆的短轴端点分别为(如图),直线分别与椭圆交于两点,其中点满足,且. ①证明直线与轴交点的位置与无关; ②若∆面积是∆面积的5倍,求的值; (2)若圆:.是过点的两条互相垂直的直线,其中交圆于、两点,交椭圆于另一点.求面积取最大值时直线的方程.
已知数列,是其前项的和,且满足,对一切都有成立,设. (1)求; (2)求证:数列是等比数列; (3)求使成立的最小正整数的值.
某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域)”,其中、是过抛物线焦点的两条弦,且其焦点,,点为轴上一点,记,其中为锐角. (1)求抛物线方程; (2)求证:.