已知函数 $f\left(x\right)=2\sin (\omega x）$，其中常数 $\omega >0$
（1）令 $\omega =1$，判断函数 $F\left(x\right)=f\left(x\right)+f(x+\frac{\pi }{2})$的奇偶性，并说明理由；
（2）令 $\omega =2$，将函数 $y=F\left(x\right)$的图象向左平移个 $\frac{\pi }{6}$单位，再向上平移1个单位，得到函数 $y=g\left(x\right)$的图象，对任意 $a\in R$，求 $y=g\left(x\right)$在区间 $[a,a+10\pi ]$上零点个数的所有可能值．