2010年全国统一高考理科数学试卷（北京卷）

某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 $\frac{4}{5}$ ，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 $p.q\left(p>q\right)$ ，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记 $\xi$ 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(Ⅱ)求 $p,q$ 的值；
(Ⅲ)求数学期望 $E\xi$ 。

集合 $P=\left\{x\in Z|0\le x<3\right\}$, $M=\left\{x\in Z|x^2\le 9\right\}$，则 $P\cap M=$（）

在等比数列 $\left\{a_n\right\}$中， $a_1=1$，公比 $\left|q\right|\ne 1$.若 $a_m=a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5$，则 $m=$

一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如下图所示，则该几何体的俯视图为（  ）

8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为

极坐标方程 $\left(p-1\right)\left(\theta -\mathrm{\pi }\right)=\left(p\ge 0\right)$表示的图形是（）

$a,b$为非零向量。" $a\perp b$"是"函数 $f\left(x\right)=(xa+b)·(xa-b)$为一次函数"的（）

设不等式组 $\{\begin{array}{c}x+y-11\ge 0\\ 3x-y+3\ge 0\\ 5x-3y+9\le 0\end{array}$表示的平面区域为 $D$，若指数函数 $y=a^x$的图像上存在区域 $D$上的点，则 $a$的取值范围是

如图，正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的棱长为2，动点 $E,F$ 在棱 $A_1{B}_1$ 上，动点 $P,Q$ 分别在棱 $AD,CD$ 上，若 $EF=1,A_{1}E=x,DQ=y,DP=z$ （ $x,y,z$ 大于零），则四面体 $PEFQ$ 的体积（  ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

复数 $\frac{2i}{1-i}$在复平面内所对应的点的坐标为.

在 $∆ABC$中，若 $b=1,c=\sqrt{3},\angle C=\frac{2\pi }{3}$，则 $a=$.

从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知 $a＝$ .若要从身高在[120,130）,[130，140) , [140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140150]内的学生中选取的人数应为 .

如图， $\odot O$ 的弦 $ED$ ， $CB$ 的延长线交于点 $A$ 。若 $BD\perp AE,AB=4,BC=2,AD=3$ ,则 $DE$ ＝ ； $CE$ ＝ .

已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为2，焦点与椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为.

如图放置的边长为1的正方形 $PABC$ 沿 $x$ 轴滚动.设顶点 $p(x,y)$ 的轨迹方程是 $y=f\left(x\right)$ ，则 $f\left(x\right)$ 的最小正周期为 ； $y=f\left(x\right)$ 在其两个相邻零点间的图像与 $x$ 轴所围区域的面积为 .

说明："正方形 $PABC$ 沿 $z$ 轴滚动"包括沿 $z$ 轴正方向和沿 $z$ 轴负方向滚动.沿 $z$ 轴正方向滚动指的是先以顶点 $A$ 为中心顺时针旋转，当顶点 $B$ 落在 $z$ 轴上时，再以顶点 $B$ 为中心顺时针旋转，如此继续.类似地，正方形 $PABC$ 可以沿 $z$ 轴负方向滚动.

已知函数 $f\left(x\right)=2\cos 2x+{\sin }^{2}x-4\cos x$.
（Ⅰ）求 $f=\left(\frac{\pi }{3}\right)$的值；
（Ⅱ）求 $f\left(x\right)$的最大值和最小值。

如图，正方形 $ABCD$ 和四边形 $ACEF$ 所在的平面互相垂直， $CE\perp AC,EF\parallel AC,AB=\sqrt{2},CE=EF=1$

（Ⅰ）求证： $AF\parallel$ 平面 $BDE$ ；
（Ⅱ）求证： $CF\perp$ 平面BDE；
（Ⅲ）求二面角 $A-BE-D$ 的大小.

已知函数 $f\left(x\right)=\ln \left(1+x\right)-x+\frac{x}{2}{x}^2\left(k⩾0\right)$.
(Ⅰ)当 $k=2$时，求曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $\left(1,f\left(1\right)\right)$处的切线方程；
(Ⅱ)求 $f\left(x\right)$的单调区间.

在平面直角坐标系 $xOy$中，点 $B$与点 $A(-1,1)$关于原点 $O$对称， $P$是动点，且直线 $AP$与 $BP$的斜率之积等于 $-\frac{1}{3}$.
(Ⅰ)求动点 $P$的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线 $AP$和 $BP$分别与直线 $x=3$交于点 $M,N$，问：是否存在点 $P$使得 $△PAB$与 $△PMN$的面积相等？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，说明理由.

已知集合 $S_n=\left\{X\right|X=(x_1,x_2,\dots ,x_n）,x_i\in \left\{0,1\right\},i=1,2,...,n\}$, $(n\ge 2)$对于 $A=(a_1,a_2,\dots a_n,)，B=(b_1,b_2,\dots b_n,)\in Sn$，定义 $A$与 $B$的差为 $A-B=\left(\right|a_1-b_1|，|a_2-b_2|，\dots |a_n-b_n|）$；

$A$与 $B$之间的距离为 $d(A,B)=\underset{i=j}{\overset{n}{\sum }}\left|a_i-b_i\right|$

（Ⅰ）证明： $\forall A,B,C\in S_n$，有 $A-B\in S_n$，且 $d(A-C,B-C)=d(A,B)$；

（Ⅱ）证明： $\forall A,B,C\in S_n$， $d(A,B),d(A,C),d(B,C)$三个数中至少有一个是偶数

（Ⅲ）设 $P\subseteq Sn$,中有 $m(m\ge 2)$个元素，记 $P$中所有两元素间距离的平均值为 $\bar{d}\left(P\right)$.证明： $\bar{d}\left(P\right)\le \frac{mn}{2(m-1)}$．