已知集合Sn{X|X(x1,x2,…,xn）,xi∈0,1,

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知集合 $S_{n} = {X | X = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} ）, x_{i} \in \{0, 1\}, i = 1, 2, . . ., n}$ , $(n \geq 2)$ 对于 $A = (a_{1}, a_{2}, \dots a_{n},) ， B = (b_{1}, b_{2}, \dots b_{n},) \in S n$ ，定义 $A$ 与 $B$ 的差为 $A - B = (| a_{1} - b_{1} | ， | a_{2} - b_{2} | ， \dots | a_{n} - b_{n} | ）$ ；

$A$ 与 $B$ 之间的距离为 $d (A, B) = \sum_{i = j}^{n} |a_{i} - b_{i}|$

（Ⅰ）证明： $\forall A, B, C \in S_{n}$ ，有 $A - B \in S_{n}$ ，且 $d (A - C, B - C) = d (A, B)$ ；

（Ⅱ）证明： $\forall A, B, C \in S_{n}$ ， $d (A, B), d (A, C), d (B, C)$ 三个数中至少有一个是偶数

（Ⅲ）设 $P \subseteq S n$ ,中有 $m (m \geq 2)$ 个元素，记 $P$ 中所有两元素间距离的平均值为 $\bar{d} (P)$ .证明： $\bar{d} (P) \leq \frac{m n}{2 (m - 1)}$ ．

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某建筑物的上半部分是多面体, 下半部分是长方体（如图）. 该建筑物的正视图和侧视图（如图）, 其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成.

（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
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题型：未知
难度：未知

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2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定:居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

组别	PM2.5（微克/立方米）	频数（天）	频率
第一组	(0,15]	4	0.1
第二组	(15,30]	12	0.3
第三组	(30,45]	8	0.2
第四组	(45,60]	8	0.2
第三组	(60,75]	4	0.1
第四组	(75,90)	4	0.1

（1）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；
（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；
（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列及数学期望．