已知集合Sn{X|X(x1,x2,…,xn）,xi∈0,1,

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知集合 $S_{n} = {X | X = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} ）, x_{i} \in \{0, 1\}, i = 1, 2, . . ., n}$ , $(n \geq 2)$ 对于 $A = (a_{1}, a_{2}, \dots a_{n},) ， B = (b_{1}, b_{2}, \dots b_{n},) \in S n$ ，定义 $A$ 与 $B$ 的差为 $A - B = (| a_{1} - b_{1} | ， | a_{2} - b_{2} | ， \dots | a_{n} - b_{n} | ）$ ；

$A$ 与 $B$ 之间的距离为 $d (A, B) = \sum_{i = j}^{n} |a_{i} - b_{i}|$

（Ⅰ）证明： $\forall A, B, C \in S_{n}$ ，有 $A - B \in S_{n}$ ，且 $d (A - C, B - C) = d (A, B)$ ；

（Ⅱ）证明： $\forall A, B, C \in S_{n}$ ， $d (A, B), d (A, C), d (B, C)$ 三个数中至少有一个是偶数

（Ⅲ）设 $P \subseteq S n$ ,中有 $m (m \geq 2)$ 个元素，记 $P$ 中所有两元素间距离的平均值为 $\bar{d} (P)$ .证明： $\bar{d} (P) \leq \frac{m n}{2 (m - 1)}$ ．

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（本小题满分10分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f₁（x）=x，f₂（x）=x²，f₃（x）=x³，f₄（x）=sinx，f₅（x）=cosx，f₆（x）=2．
（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．